Содержание

3.1. Задачи, приводящие к понятию дифференциальных уравнений.

   Многие процессы в природе можно описать с помощью функции. Дифференциальное исчисление позволяет по данной функции исследовать ее свойства. Не менее важна и обратная задача: по данным свойствам функции найти эту функцию. Иными словами, исследуя процесс, найти функцию, которая его описывает.

   В алгебре для нахождения неизвестных величин пользуются уравнениями: по условию задачи составляют соотношение, связывающее неизвестную величину с данными и, решая его, находят неизвестную. Аналогично в анализе для нахождения неизвестной функции по данным ее свойствам составляют уравнение, связывающее неизвестную величину с величинами, задающими ее свойство. Поскольку свойства выражаются через производные или дифференциалы того или иного порядка, приходят к соотношению, связывающему функцию, ее производные или дифференциалы. Это соотношение называется дифференциальным уравнением, решая его, находят искомую функцию.

   Рассмотрим задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

   Задача 1. На плоскости XOY найти кривую, которая в каждой своей точке имеет касательную, образующую с положительным направлением оси Ox угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания.

Решение. Пусть уравнение искомой кривой y = f (x).



   Обозначим через α угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох. Как известно, угловой коэффициент касательной МТ есть tg α, и он равен производной от y по x, так что

            tg α = y '       (1.1)

   С другой стороны, по условию задачи имеем

            tg α = 2x.       (1.2)

   Приравнивая значения tg α, определяемые формулами (1.1) tg α = y ' и (1.2) tg α = 2x получим

            y ' = 2x.       (1.3)

   Решением дифференциального уравнения (1.3) y ' = 2x является любая первообразная для функции 2x. Например, решением будет

            y = x2.       (1.4)

   Как известно из интегрального исчисления, все первообразные для функции 2x и, следовательно, все решения дифференциального уравнения (1.3) y ' = 2x даются формулой

            y = x2 + С,       (1.5)

где С — произвольная постоянная.

   Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.е. условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а целое семейство кривых — парабол. Но если в условие задачи добавить точку M0 (x0, y0), через которую проходит искомая кривая, то получим единственную кривую. Для этого достаточно заменить в уравнении (1.5) y = x2 + С координаты x и y координатами точки M0

            y0 = x2 + С.       (1.6)

и, найдя из полученного уравнения значение произвольной постоянной С, подставить его в уравнение (1.5) y = x2 + С. Выполняя указанные выкладки, имеем:

            С = y0, y = x2 + y0.

   Таким образом, искомой кривой будет парабола

            y = x2 + y0.

   Задача 2. Предположим, что материальная точка P движется по прямой, которую принимаем за ось Ox. Пусть известна скорость движения как функция от времени t; обозначим ее через f (t) и будем предполагать, что она непрерывна при всех рассматриваемых значениях времени t. Требуется найти закон движения точки, т. е. зависимость x от t, х = x(t), если известно, что в некоторый момент времени t0 точка занимает положение x0, так что x(t0) = x0.

          


   Решение. Известно, что скорость движения рассматриваемой точки в момент времени t равна производной от x по t. С другой стороны, эта скорость равна f (t). Поэтому

             = f (t).       (1.7)

   Равенство (1.7) = f (t) есть дифференциальное уравнение движения рассматриваемой точки. Оно задает закон движения в дифференциальной форме. Интегрируя уравнение (1.7) = f (t), найдем закон движения в конечной форме.

   Интегрирование уравнения (1.7) = f (t) состоит в нахождении всех первообразных для функции f (t), которые, как известно из интегрального исчисления, могут быть записаны в виде

            x = f (t) dt + C.       (1.8)

   Выделим решение (движение), в котором

            x = x0 при t = t0.       (1.9)

   Для этого положим в формуле (1.8)x = f (t) dt + C t = t0, x = x0. Получим

            x0 = f (t) dt + C,

откуда C = x0; следовательно, искомым решением (движением) будет

            x = f (t) dt + x0.       (1.10)

   Формула (1.10)x = f (t) dt + x0 дает искомый закон движения материальной точки. Других движений, определяемых дифференциальным уравнением (1.7) = f (t) и условием (1.9)x = x0 при t = t0, нет.

   Условие (1.9)x = x0 при t = t0 называется начальным условием, а числа t0 и x0начальными данными решения (движения).



Содержание

3.2. Определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий.

   Дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое содержит производные от искомой функции и может содержать искомую функцию и независимую переменную.

   Уравнение вида F (x, y (x), y ' (x), …, y (n)(x)) = 0, где x — независимая действительная переменная, y (x) — искомая функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

   Если уравнение содержит несколько независимых переменных, искомую функцию и частные производные от искомой функции по независимым переменным, например

            x = 0, z = z (x, y),

то оно называется уравнением с частными производными.

   В дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

   Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок, входящих в него производных.

   Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство.

   График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

   Не всегда удается получать решения в явном виде, например

            x2 + y2 = C.

   Решение дифференциального уравнения, полученное в неявном виде F (x, y) = 0, называется интегралом дифференциального уравнения.

   Общим решением дифференциального уравнения называется такое его решение, содержащее произвольные постоянные, из которого любое частное решение может быть получено при соответствующем подборе произвольных постоянных.

   Частное решение дифференциального уравнения — это решение, не содержащее произвольных постоянных.

   Аналогично определяются общий интеграл и частный интеграл дифференциального уравнения.

   Если уравнение не интегрируется в элементарных функциях, но все его решения выражаются через неопределенные интегралы от элементарных функций, то говорят, что уравнение проинтегрировано в квадратурах. Квадратурой называется операция взятия неопределенного интеграла.

   Например, все решения уравнения

            y' =

даются формулой

            y = dx + C.



Содержание

3.3. Дифференциальные уравнения первого порядка как поле направлений.

   Общий вид дифференциального уравнения первого порядка: F (x, y, y ' ) = 0.

Если его возможно разрешить относительно производной y ', то оно приводится к виду y ' = f (x, y).       (3.1)

Такая форма дифференциального уравнения первого порядка называется нормальной, а уравнение является разрешимым относительно производной от искомой функции.

   Выясним геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка вида (3.1)y ' = f (x, y).

   Общее решение геометрически задает однопараметрическое семейство интегральных кривых.

   Решение y = y (x) уравнения (3.1)y ' = f (x, y) представляет собой на плоскости XOY кривую, а y ' — угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке M (x, y). Уравнение (3.1)y ' = f (x, y) дает, таким образом, соотношение между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в этой точке.

   Задание уравнения (3.1)y ' = f (x, y) означает, что в каждой точке M (x, y) области, где определена функция f (x, y), задано направление касательной к интегральной кривой в точке M (x, y). Значит, имея уравнение (3.1)y ' = f (x, y) мы получаем поле направлений. Это поле графически можно изобразить, поместив в каждой точке M (x, y) черточку, наклоненную к оси Ox под углом, тангенс которого равен f (x, y).

   Задача интегрирования уравнения (3.1)y ' = f (x, y) заключается в том, чтобы найти семейство кривых, у которых касательная к каждой точке совпадает с направлением поля в этих точках. Такое истолкование уравнения (3.1)y ' = f (x, y) дает графический способ построения его решения.

   Способ изоклин. Этот способ заключается в том, что на плоскости XOY проводят линию (изоклину), во всех точках которой функция f (x, y) имеет постоянное значение, равное p. Таким образом, изоклина — линия равного наклона касательных. Во всех точках этой кривой имеем :

            y ' = = p.       (3.2)

Это значит, что интегральные кривые пересекают эту линию под одним и тем же углом

             = tg α = p,

т.е. все черточки параллельны для всех точек изоклины.

   Давая p различные значения, получим ряд изоклин или линий постоянного наклона касательных. Чтобы получить, приближенный график решения, проходящий через данную точку M0 (x0, y0), проводим кривую так, чтобы она пересекала изоклину под углами, указанными черточками и проходила через точку M0 (x0, y0).

   Установим связь между уравнением (3.2)y ' = = p и его интегральными кривыми. Предположим, что правая часть уравнения (3.2)y ' = = p определена и непрерывна в области G , и пусть

            y = y (x).       (3.3)

есть интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку M (x, y). Проведем касательную к интегральной кривой (3.3)y = y (x) в точке M и обозначим через α угол, образованный касательной MT с положительным направлением оси x.



Тогда

            tg α = y ' (x),

но

            y ' (x) = f (x, y (x)),

поэтому

            tg α = f (x, y (x)).

   Таким образом, если через точку M(x, y) проходит интегральная кривая (3.3)y = y (x), то наклон касательной к ней в этой точке определяется формулой

            tg α = f (x, y),       (3.4)

так что наклон касательной к интегральной кривой определен заранее самим дифференциальным уравнением.

   Наклон касательной (как и всякой прямой) есть тангенс угла α, образованного касательной с положительным направлением оси Ox.

   Наклоны касательных можно указать, не находя интегральных кривых. Для этого построим в каждой точке M области G отрезок (для определенности — единичной длины) с центром в точке M, составляющий с положительным направлением оси Ox угол α, тангенс которого определяется формулой (3.4)tg α = f (x, y). Получим так называемое поле направлений, определяемое уравнением (3.2)y ' = = p. Всякая интегральная кривая этого уравнения обладает тем свойством, что направление касательной в каждой ее точке совпадает с направлением поля, определяемым уравнением (3.2)y ' = = p в этой точке.



   Чтобы ответить на вопрос, под каким углом интегральные кривые могут пересекать ось x, достаточно подставить в правую часть уравнения (3.2)y ' = = p y = 0, и получим тангенс угла α:

            tg α = f (x, 0).

   Например, интегральные кривые уравнения

             = x2 + y2.       (3.5)

пересекают ось x под углом α, тангенс которого равен x2. Аналогично интегральные кривые уравнения (3.2)y ' = = p в точках их пересечения с осью y образуют с осью x угол α:

            tg α = f (0, y).

   Вообще, если надо узнать, какой угол с осью x образуют интегральные кривые уравнения (3.2)y ' = = p в точках их пересечения с заданной кривой y = φ(x), то достаточно подставить y = φ(x) в правую часть уравнения (3.2)y ' = = p. Получим

             tg α = f (x, φ(x)).

   Например, для интегральных кривых уравнения

             = yx

в точках их пересечения с прямой y = y имеем tg α = 0, так что касательные к этим интегральным кривым параллельны оси x.

   Кривая ω (x, y) = 0, в каждой точке которой направление поля, определяемое дифференциальным уравнением (3.2)y ' = = p, одно и то же, называется изоклиной этого уравнения.

   Уравнения изоклин дифференциального уравнения (3.2)y ' = = p имеют вид

            f (x, y) = k,

где k = tg α = const. Например, для уравнения (3.5) = x2 + y2 изоклинами будут окружности

             x2 + y2 = k,

вырождающиеся в точку (0,0) при k = 0. При k = 1 получаем изоклину

            x2 + y2 = 1.

   Интегральные кривые в каждой точке этой окружности наклонены к оси x под углом α. С увеличением k наклон интегральных кривых возрастает, и интегральные кривые имеют вид, указанный схематически на рисунке. Построив достаточно «густое» семейство изоклин (в нашем случае — окружностей); можно получить методом изоклин сколь угодно точное представление об интегральных кривых.



   Если в точке M(x, y) правая часть уравнения (3.2)y ' = = p обращается в бесконечность, то естественно считать, что направление ноля в такой точке параллельно оси y. В этом случае надо рассматривать перевернутое уравнение

             = .       (3.6)

   Таким образом, во всякой точке M(x, y), в которой правая часть уравнения (3.2)y ' = = p имеет конечное значение или обращается в бесконечность, это уравнение задает вполне определенное направление поля. Интегральные кривые перевернутого уравнения (3.6) = , которое всегда будем рассматривать наряду с уравнением (3.2)y ' = = p в окрестности точек, где f (x, y) обращается в бесконечность, будем присоединять к интегральным кривым уравнения (3.2)y ' = = p.

   Рассмотрим примеры, когда правая часть уравнения (3.2)y ' = = p не определена в точке (x0, y0), но определена в окрестности этой точки. В этом случае говорят, что поле направлений в точке (x0, y0) не задано. Такие точки будем называть особыми точками дифференциального уравнения. Если при этом существует интегральная кривая y = y(x) (x = x(y)), обладающая свойством y(x) → y0 при xx0 (x(y) → x0 при yy0), то будем говорить, что эта интегральная кривая примыкает к точке (x0, y0).



Содержание

3.4. Задача Коши.

   Дифференциальное уравнение обычно имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы из всех решений выделить одно, надо задать какое-либо конкретное значение функции при некотором значении независимого переменного. Задать значение y0 искомой функции при некотором значении x0 независимого переменного — это значит задать начальное условие

             = y0.

   С геометрической точки зрения задача отыскания решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием равносильна тому, чтобы найти ту интегральную кривую, которая проходит через точку M0 (x0, y0) на плоскости XOY.

   Естественно возникает вопрос: всегда ли существует решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, и, если существует, то будет ли оно единственным?

   Ответ на поставленные вопросы дает теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

   Теорема

Пусть дано уравнение y' = f (x, y) с начальным условием = y0, и относительно функции f (x, y) выполнены следующие условия:

  1. В прямоугольнике R, определенном неравенствами

                x0axx0 + a,

                y0byy0 + b,

    функция f (x, y) непрерывна. Из этого условия вытекает, что в замкнутой области R функция f (x, y) ограничена, т.е. существует действительное число M > 0 такое, что для любой точки (x, y) ∈ R   | f (x, y)| ≤ M.

  2. В области R функция f (x, y) относительно аргумента y удовлетворяет условию Липшица, т.е. существует такое действительное число A > 0, что | f (x, y1) – f (x, y2)| ≤ A|y1y2|.

Обозначим через h меньшее из двух чисел a, .

При данных условиях существует единственное решение y = y(x), где x0hxx0 + h, удовлетворяющее начальному условию = y0.



Содержание

3.5. Основные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка


I. Уравнения с разделяющимися переменными II. Уравнения, однородные относительно переменных III. Уравнения в полных дифференциалах IV. Линейные дифференциальные уравнения
y' = f (x) g ( y) y' = f (x, y), где f (x, y) — однородная функция нулевого порядка M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0,

где

y' + P(x) y = Q(x)
  1. y' = .
  2. Разделить переменные.
  3. Проинтегрировать.
  1. Замена = u, где u = u(x).
  2. После подстановки получим уравнение с разделяющимися переменными.
  3. Решив его, заменим u = .
  1. Проверяем

    .

  2. Решением дифференциального уравнения является u(x, y), где

    = M(x, y),

    = N(x, y).

  1. y' + P(x) y = 0 — линейное однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

  2. y' + P(x) y = Q(x)
  • метод вариации произвольной постоянной;
  • метод Бернулли:
    y = u(x) · v(x).



I. Уравнения с разделяющимися переменными

   Дифференциальное уравнение вида  y' = f (x) g ( y)  или  M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy = 0  называется уравнением с разделяющимися переменными.

   Можно сделать преобразование так, чтобы в одной части была одна переменная, в другой — другая.

             dx + dy = 0,

где dx — дифференциал некоторой функции от x,

dy — дифференциал некоторой функции от y.

   Общий интеграл, выраженный в квадратурах:

             dx + dy = C.

   Частный интеграл, удовлетворяющий условию = y0, выражается

             dx + dy = 0.

   Если работать с уравнением y' = f (x) g ( y), то = f (x) dx — уравнение с разделенными переменными.

   Замечание. Необходимо учесть, что при делении на P(x) и N(y), мы могли потерять решение уравнения, поэтому нужно проверить, не являются ли решениями данного уравнения, не вошедшие в общее решение, решения уравнений P(x) = 0 и N(y) = 0.

   Действительно, всякое решение, например y = y0, уравнения N(y) = 0 является решением уравнения

            M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy = 0,      (5.1)

т.к. N( y0) = 0 и dy = 0, при подстановке в (5.1)M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy получим тождество 0 = 0.

   Аналогично, любое решение x = x0 уравнения P(x) = 0 удовлетворяет (5.1)M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy, т.к. P( x0) = 0 и dx = 0.

   Значит решения  y = y0,  x = x0 являются интегралами уравнения (5.1)M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy, даже если они не содержатся в общем решении.


II. Уравнения, однородные относительно переменных

   Функция f (x, y) называется однородной функцией степени n относительно переменных x и y, если при любом допустимом t справедливо тождество f (tx, ty) ≡ tn f (x, y).

   Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным относительно переменных x и y, если функция f (x, y) есть однородная функция нулевой степени относительно переменных x и y.

   Пусть имеем дифференциальное уравнение y' = f (x, y), однородное относительно переменных x и y. Положив t = в тождестве f (tx, ty) = f (x, y), получим f (x, y) = f 1, , т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.

   Обозначив f 1, = φ, получим, что однородное относительно переменных x и y дифференциальное уравнение всегда можно представить в виде

             = φ.

   Как интегрируется уравнение y' = φ?

   Оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого делают замену

             = u,

где u — новая искомая функция от независимой переменной x, т.е. u = u(x).

   Тогда

            y = ux.

   Дифференцируя по x, имеем:

            y' = u' x + u,

тогда данное уравнение примет вид:

             u' x + u = φ(u)

или

            x = φ(u) – u.

   Это есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, преобразовав которое, получим:

             = .

   Интегрируя, получим:

             = + C,

тогда

             = ln x + ln C

или

             = ln Cx,

причем |x| не пишем, т.к. –1 войдет в постоянную C.

   После взятия квадратуры, подставляем u = .

   Замечание. Мы делили на φ(u) – u, предполагая, что оно отлично от нуля.

  1. Если φ(u) ≡ u, то уравнение y' = φ(u) примет вид: y' = — уравнение с разделяющимися переменными.
  2. Если φ(u) = u при некоторых значениях u = u0, то функция y = u0x — решение уравнения y' = φ(u), которое может и не вытекать из общего.

    y' = u0 и φ = φ(u0) равны, тогда u0 = φ, xdx = [φ(u) – u] dx.




III. Уравнения в полных дифференциалах

   Дифференциальное уравнение вида M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если .

   Если существует функция u(x, y) такая, что

            M(x, y) = , N(x, y) = ,

то дифференциальное уравнение

             M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0      (5.2)

можно переписать в форме

             dx + dy = 0, т.е. d[u(x, y)] = 0.

В этом случае, данное уравнение имеет решение

            u(x, y) = C.

   Другой вопрос, как найти эту функцию u(x, y)?

   Это можно сделать с помощью криволинейного интеграла, но на практике поступают следующим образом.

   Т.к. = M(x, y), то

             u(x, y) = M(x, y) dx + C(y),      (5.3)

где C(y) — функция, зависящая только от y и пока нам неизвестная. Будем ее искать из условия, что = N(x, y), но

             = M(x, y) dx + C(y).

   Значит,

            M(x, y) dx + C'(y) = N(x, y).

   Отсюда находим C'(y), а интегрированием найдем C(y), которое затем подставляем в (5.3) и получаем u(x, y). Тогда общий интеграл уравнения (5.2)M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 имеет вид

            u(x, y) = C.


IV. Линейные дифференциальные уравнения

   Уравнение вида y' + P(x) y = Q(x), левая часть которого есть линейная функция относительно y и y' , а функции P(x) и Q(x) непрерывны в некоторой области, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

   Уравнение вида y' + P(x) y = 0 называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

   Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение y' + P(x) y = 0. Это и уравнение с разделяющимися переменными, значит,

             = – P(x) y

или

             = – P(x) dx.

Проинтегрируем последнее уравнение:

             = – P(x) dx + C,

            ln y = ln CP(x) dx.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид

            y = C.

   Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти:

1. Методом вариации произвольной постоянной.

  1. Рассматриваем соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение y' + P(x) y = 0,

    его общее решение y = C.

  2. Ищем решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде

                y = C(x),      (5.4)

    где C(x) — искомая функция от x.

    Так как это решение дифференциального уравнения, то найдем y':

                y' = C'(x) + C(x) (– P(x))

    и, подставив в данное уравнение, получим

                C'(x) = Q(x).

    Интегрированием находим C(x):

                C(x) = Q(x) + C.

    Найденную функцию C(x) подставляем в (5.4)y = C(x) и получаем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

2. Методом Бернулли.

   На примере решения уравнения y' = x.

   Пусть решение имеет вид:

            y = u(x) · v(x),

            y' = u'v + v'u,

            u'v + v'u = x.

            u'v + uv'.     ( ∗ )

   Пусть v' = 0.

             = ,

             = ,

            ln|v| = 3ln|x|,

            v = x3, подставим в уравнение ( ∗ ),

            u'v = x,

            u'x3 = x,

            u' = .

   Интегрированием находим u:

            u = = – + C,

найденные u и v подставляем в y = u(x) · v(x), получаем:

y = + C x3 — общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.



Содержание

3.6. Особое решение дифференциального уравнения. Уравнение Клеро.

   Решение y = y(x), в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением. Особое решение не может быть получено из формулы общего решения y = φ(x, C) (6.1) при конкретном числовом значении произвольной постоянной C (но может быть получено при C = C(x)).

   Если правая часть уравнения = f (x, y) (6.2) удовлетворяет во всей области задания условиям теоремы Пикара, то это уравнение, очевидно, не имеет особых решений. Если функция f (x, y), стоящая в правой части уравнения , непрерывна относительно x и y во всей области задания и имеет частную производную по y (ограниченную или нет), то особыми решениями могут быть только те кривые y = φ(x), во всех точках которых обращается в бесконечность:

             y = φ(x) = ∞.

   Кривые, подозрительные на особые решения, могут быть иногда найдены по уравнению семейства интегральных кривых.

   Предположим, что семейство интегральных кривых уравнения (6.2) = f (x, y), записанное в виде y = φ(x, C) или Ф (x, y, C) = 0, имеет огибающую, т. е. кривую, обладающую тем свойством по отношению к кривым семейства, что она в каждой своей точке касается хоть одной кривой семейства и вся состоит из точек касания.

   Огибающая семейства интегральных кривых уравнения (6.2) = f (x, y) всегда является особым решением этого уравнения, ибо, во-первых, она является решением (интегральной кривой) уравнения (6.2) = f (x, y), так как в каждой ее точке направление касательной совпадает с направлением поля, направлений, определяемого дифференциальным уравнением (6.2) = f (x, y) в этой точке, и, во-вторых, в каждой ее точке, очевидно, нарушается единственность решения задачи Коши.

   Отметим, наконец, что особые решения всегда можно обнаружить в процессе нахождения общего решения (общего интеграла) дифференциального уравнения. Дело в том, что когда делим обе части данного дифференциального уравнения на некоторую функцию ω(x, y), то получаем уравнение, вообще говоря, не равносильное данному, ибо можем при этом потерять решения вида y = φ(x) при x = ψ(y), при которых делитель ω(x, y) обращается в нуль, если эти решения не содержатся в общем решении, т. е. не получаются из него ни при каких числовых значениях произвольной постоянной (включая ± ∞). Решения, о которых идет речь, очевидно, являются особыми.

   Вообще всегда при интегрировании дифференциального уравнения нужно иметь в виду следующее замечание Н. М. Гюнтера: «Внимательно относясь к процессу, переводящему дифференциальное уравнение в его общий интеграл, можно без всяких интегрирований найти все особые решения, ни одного не пропустив». В дальнейшем будем систематически пользоваться этим указанием для нахождения особых решений всех уравнений, общий интеграл которых удается построить в элементарных функциях или в квадратурах.

   Пусть дано уравнение первого порядка общего вида

            F(x, y, y') = 0.      (6.3)

   Рассмотрим случай полного уравнения (6.3)F(x, y, y') = 0, в котором функция F линейно зависит от y и x. Такое уравнение можно, разрешив относительно y, записать в виде

            y = φ(y')x + ψ(y').      (6.4)

   Если φ(y') ≠ y', то уравнение (6.4)y = φ(y')x + ψ(y') называется уравнением Лагранжа. Найдем его общее решение в параметрической форме.

   Воспользуемся основным соотношением:

            dy = y'dx,      (6.5)

приняв y' за параметр, который на этот раз (по традиции) обозначим буквой p (y' = p). Тогда уравнение Лагранжа (6.4)y = φ(y')x + ψ(y') будет равносильно системе двух уравнений

                  (6.4, а)

   Пользуясь основным соотношением (6.5)dy = y'dx с учетом (6.4, а), получим (вычисляя dy как дифференциал функции от двух аргументов p и x)

            (φ'(p)x + ψ'(p))dp + φ(p)dx = pdx.

   Это есть дифференциальное уравнение с неизвестной функцией x от независимой переменной p. Замечая, что искомая функция x входит в коэффициент при dp линейно, перепишем его в виде

            .

   Это есть линейное уравнение с искомой функцией x. Интегрируя его, получим

            x = A(p)C + B(p).

   Подставляя эту функцию в первое из уравнений (6.4, а) выразим y через p. Общим решением уравнения Лагранжа (6.4)y = φ(y')x + ψ(y') в параметрической форме будет

            

   Если уравнение φ(p) – p = 0 имеет действительные решения p = pi (i = 1, 2 , …, n), то, подставляя их в первое из уравнений (6.4, а) и принимая во внимание, что φ(pi) = pi, получим

            y = pix + ψ(pi) (i = 1, 2 , …, n)

   Эти прямые линии могут оказаться особыми решениями уравнения Лагранжа (6.4)y = φ(y')x + ψ(y').

   Рассмотрим теперь один замечательный частный случай уравнения Лагранжа, когда коэффициент при x равен производной от искомой функции y:

            y = xy' + ψ(y')      (6.6)

   Это уравнение называется уравнением Клеро.

   Применяя тот же алгоритм, что и при интегрировании уравнения Лагранжа, имеем

             y = xp + ψ(p), y' = p      (6.7)

Далее,

            pdx + (x + ψ'(p))dp = pdx (dy = y'dx),

Откуда

            (x + ψ'(p))dp = 0

   Это уравнение распадается на два:

             dp = 0 и x + ψ'(p) = 0.      (6.8)

   Первое из них дает p = C = const. Подставляя это значение в первое из уравнений (6.7)y = xp + ψ(p), y' = p, получим

            y = xC + ψ(C).      (6.9)

   Это семейство прямых линий и есть общее решение уравнения Клеро (6.6)y = xy' + ψ(y'). Заметим, что оно получается из (6.6)y = xy' + ψ(y') формальной заменой y' на C.

   Второе из уравнений (6.8)dp = 0 и x + ψ'(p) = 0 вместе с первым из уравнений (6.7)y = xp + ψ(p), y' = p дает решение уравнения Клеро (6.6)y = xy' + ψ(y') в параметрической форме:

                  (6.10)

которое обычно является особым и представляет наибольший (если не исключительный) интерес для приложений. Геометрически это решение чаще всего является огибающей семейства (6.9)y = xC + ψ(C) и в этом случае представляет собой заведомо особое решение.

   Действительно, разыскивая кривую, подозрительную на огибающую семейства (6.9)y = xC + ψ(C), по правилу, указанному выше, имеем систему

            

где второе уравнение получено из первого, дифференцированием по C. Из этой системы находим

            

   Но эти уравнения отличаются от (6.10) только обозначением параметра.

   Таким образом, приходим к очень простому алгоритму интегрирования уравнения Клеро:

  1. Общее решение получается заменой у' на C.
  2. Особое решение ищется как огибающая семейства прямых, образующих общее решение.

   В случае уравнения Клеро наибольший интерес представляет не общее, а особое решение.



Содержание

3.7. Уравнение Бернулли.

   Рассмотрим одно нелинейное уравнение, которое всегда приводится к линейному. Это уравнение Бернулли:

            y' + p(x)y = q(x)ym  (m ≠ 0, m ≠ 1).

   Для приведения уравнения Бернулли к линейному уравнению избавимся сначала в правой части от множителя ym, разделив на него обе части уравнения. Получим

            y– my' + p(x)y1 – m = q(x).

   Это уравнение можно переписать в виде

            ( y1 – m )' + p(x)y1 – m = q(x).

   Введя новую неизвестную функцию z:

            z = y1 – m,

придем к уравнению

            z' + p(x)z = q(x),

или

            z' + (1 – m)p(x)z = (1 – m)q(x).

   Это есть линейное уравнение. Найдя его общее решение, получим общее решение уравнения Бернулли по формуле

            y = .

   Заметим, что если m > 0, то уравнение Бернулли имеет решение y ≡ 0. Это решение будет особым, если 0 < m < 1.



Содержание

3.8. Дифференциальные уравнения высших порядков: основные понятия, теоремы.

   Геометрическое и механическое истолкование уравнения второго порядка и его решения

   Рассмотрим более подробно вопрос, о геометрическом истолковании уравнения второго порядка и его решения.

   Уравнение второго порядка имеет общий вид

            F (x, y, y ', y '') = 0.      (8.1)

   Его всегда можно переписать так:

             = 0.     (8.2)

   Так как кривизна кривой y = y(x) в точке (x, y), то из формулы (8.2) = 0 видно, что всякое дифференциальное уравнение второго порядка выражает некоторое общее свойство его интегральных кривых y = y(x), устанавливая в каждой точке интегральной кривой зависимость между координатами точки, наклоном касательной к интегральной кривой и кривизной интегральной кривой в этой точке.

   Рассмотрим теперь вопрос о механическом истолковании уравнения второго порядка и его решений. Пусть материальная точка массой m движется по прямой, которую примем за ось x, под действием силы F (t, x, ), зависящей от времени t, положения x и скорости в момент времени t. Тогда согласно второму закону Ньютона имеем

            m = F (t, x, ),      (8.3)

где есть ускорение точки в момент времени t. Перепишем уравнение (8.3)m = F (t, x, ) в виде

             = f (t, x, ),      (8.4)

где f = .

   Всякому решению

            x = x(t)      (8.5)

соответствует, как и в случае уравнения первого порядка, определенный закон движения. Поэтому часто решение (8.5)x = x(t) называют движением, определяемым уравнением (8.5)x = x(t). Задача, теории интегрирования уравнения (8.4) = f (t, x, ) состоит в нахождении всех движений, определяемых этим уравнением, и изучении их свойств. Так как уравнение (8.4) = f (t, x, ) удается проинтегрировать в конечном виде лишь в редких случаях, то весьма важно уметь устанавливать свойства движений, определяемых этим дифференциальным уравнением непосредственно по свойствам самого дифференциального уравнения.

   Постановка задачи Коши для уравнения n-го порядка

   Для уравнения n-го порядка

             f (x, y, y ', …, y (n)) = 0      (8.6)

(n > 1) задача Коши ставится так: найти решение

            y = y(x)      (8.7)

удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши)

            y = y0, y ' = , …, y (n – 1) = при x = x0,      (8.8)

где x0, y0, , …, — заданные числа (начальные данные решения (8.7)y = y(x). В отличие от уравнения первого порядка здесь при заданном значении независимой переменной задается значение не только искомой функции, но и ее производных до порядка на единицу ниже, чем порядок дифференциального уравнения.

   В частности, для уравнения второго порядка (8.1)F (x, y, y ', y '') = 0 начальные условия (8.8)y = y0, y ' = , …, y (n – 1) = при x = x0 принимают вид

            y = y0, y ' = при x = x0.

   Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой y = y(x), проходящей через заданную точку M0 (x0, y0) и имеющей в этой точке касательную M0T, которая образует с положительным направлением оси x заданный угол α0:

            tg α0 = .

   Наряду с задачей Коши большое значение имеет задача, в которой условия на искомую функцию (и ее производные) налагаются не к одной точке, а на концах некоторого промежутка. Такая задача называется краевой задачей, а налагаемые условия — краевыми условиями.

   Теорема существования и единственности решения уравнения n-го порядка

   Рассмотрим уравнение n-го порядка в нормальной форме

            y (n) = f (x, y, y ', …, y (n – 1)).       (8.9)

   Для этого уравнения, как и в случае уравнения первого порядка, имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

   Теорема Пикара. Если правая часть уравнения (8.9)y (n) = f (x, y, y ', …, y (n – 1)) непрерывна в некоторой окрестности начальной точки (x0, y0, , …, ) и имеет непрерывные в этой окрестности частные производные по y, y ', …, y (n – 1) то оно имеет единственное решение (8.7)y = y(x), удовлетворяющее начальным условиям (8.8)y = y0, y ' = , …, y (n – 1) = при x = x0.

   Случай линейного уравнения. Выбор начальных данных. Интервал существования решения

   Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

            y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x).       (8.10)

   Предположим, что все коэффициенты p1, …, pn и правая часть f (x) заданы и непрерывны в интервале (a, b). Тогда условия сформулированной выше теоремы Пикара заведомо выполняются в окрестности начальной точки (x0, y0, , …, ), где x0 ∈ (a, b), а y0, , …, — любые заданные числа. Поэтому для линейного уравнения (8.10)y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x) имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

   Теорема. Если функции p1, …, pn и f (x) непрерывны в интервале (a, b), то уравнение (8.10)y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x) имеет единственное решение (8.7)y = y(x), удовлетворяющее начальным условиям (8.8)y = y0, y ' = , …, y (n – 1) = при x = x0, причем y0, , …, можно задавать произвольно, а x0 можно брать любым из интервала (a, b).

   Можно доказать, что решение (8.7)y = y(x) определено во всем интервале (а,b).

   В частности, если функции p1, …, pn и f (x) — полиномы (или другие функции, непрерывные при всех x), то все начальные данные y0, , …, можно задавать произвольно. Решение существует, единственно и определено при всех x.

   Если функции p1, …, pn, f (x) суть рациональные функции, т. е. являются отношениями полиномов

                   (8.11)

то при постановке задачи Коши начальные значения y0, , …, можно задавать любыми, а можно брать любым, кроме действительных нулей знаменателей Q1, …, Qn, Qn + 1. Решение с такими начальными данными будет заведомо определено в окрестности точки x0, не содержащей нулей знаменателей Q1, …, Qn, Qn + 1.



Содержание

3.9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

   Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

            F (x, y, y ', …, y (n)) = 0.      (9.1)

   Если уравнение (9.1)F (x, y, y ', …, y (n)) = 0 разрешимо относительно старшей производной y (n), то оно примет вид

            y (n) = f (x, y, y ', …, y (n – 1)).      (9.2)

   Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.


Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнение вида y (n) = f (x). Уравнение вида
F (x, y, y ', …, y (n)) = 0,
не содержащее явно неизвестную функцию y.
Уравнение вида
F (x, y (k), y (k + 1), …, y (n)) = 0,
не содержащее явно неизвестную функцию, а также несколько ее первых производных.
Уравнение вида
F (x, y, y ', …, y (n)) = 0,
не содержащее явно независимую переменную x.
Решение дифференциального уравнения сводится к последовательному применению квадратур. Общее решение содержит n произвольных постоянных. Сделав замену y ' = z, где z = z(x), сводим данное уравнение к уравнению более низкого порядка. Решив его, заменяем z = y ' и находим y. Производим замену y (k) = z, где z = z(x). Решив полученное уравнение, заменяем z = y (k) и интегрированием находим y. Сделав замену y ' = z, где z = z(y), получим дифференциальное уравнение (n – 1)-го порядка, связывающее y, z и производные от z по y.
Например, в дифференциальном уравнении вида F ( y, y ', y '' ) делается замена y ' = z, тогда
y '' = = = z.
Заменяя y ' = z, y '' = z, получим дифференциальное уравнение первого порядка
F y, z, y ', z = 0.




Содержание

3.10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общая теория.

   Однородные и неоднородные линейные уравнения n-го порядка

   Линейное уравнение n-го порядка имеет следующий общий вид:

            y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x).       (10.1)

   Если в рассматриваемом интервале изменения x функция f (x) тождественно равна нулю, то уравнение (10.1)y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x) принимает вид

            y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = 0.       (10.2)

и называется однородным. Если f (x) ≠ 0, то уравнение (10.1)y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x) называется неоднородным. Ниже показано, что, как и в случае линейного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного линейного уравнения (10.1)y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x) приводится к интегрированию однородного уравнения.

   Основное предположение

   Будем предполагать, что функции p1, …, pn, f (x) непрерывны в интервале (a, b). Это предположение обеспечит существование и единственность решения задачи Коши с любыми y0, , …, при любом x ∈ (a, b). В частности, единственным решением однородного уравнения (10.2)y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = 0 с нулевыми начальными условиями y0 (x0) = 0, (x0) = 0, …, (x0) = 0 — будет только очевидное нулевое решение y = 0.

   Понятие о линейном дифференциальном операторе n-го порядка

   Для упрощения дальнейшего изложения обозначим левую часть линейного уравнения (10.1)y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x) через L(y):

            L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y.       (10.3)

   Таким образом, L(y) есть результат выполнения над функцией y операций, указанных в правой части формулы (10.3)L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y, а именно: вычисление производных от функции y вплоть до порядка т включительно, умножение y0, , …, , на заданные функции p1, …, pn, 1 и сложение полученных произведений. Совокупность этих операций обозначим символом L:

            L + p1 (x) + pn – 1 (x) + pn (x)

и будем называть его линейным дифференциальным оператором n-го порядка. В частности, линейный дифференциальный оператор второго порядка имеет вид

            L + p1 (x) + p2 (x).

   Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):

1) постоянный множитель можно выносить за знак оператора

            L(ky)=kL(y);

2) оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций

            L(y1 + y2) = L(y1) + L(y2).

   Из этих основных свойств оператора L следует, что

            L Ck yk = Ck L(yk).

т. е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.

   Используя оператор L, можно записать неоднородное и однородное линейные уравнения (10.1)y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x) и (10.2)y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = 0 соответственно в виде

            L(y) = f (x)       (10.4)

и

            L(y) = 0.       (10.5)

   Если функция y = y(x) является решением уравнения (10.4)L(y) = f (x) или (10.5)L(y) = 0 в некотором интервале (a, b), то значение оператора L от этой функции равно f (x) или нулю при всех x из (a, b):

            L(y(x)) ≡ f (x) (a < x < b)

или

            L(y(x)) ≡ 0 (a < x < b).

   Понятие о комплексном решении однородного линейного уравнения

   Говоря о решении дифференциального уравнения, предполагаем, что это решение — действительная функция. Однако для однородного линейного уравнения наряду с действительными решениями следует ввести понятие комплексного решения. Дадим сначала понятие о комплексной функции от действительной переменной. Пусть даны две действительные функции u(x) и v(x), определенные в интервале (a, b).

   Функцию

            y(x) = u(x) + iv(x)   (i = )      (10.6)

будем называть комплексной функцией от действительной переменной x, определенной в интервале (a, b). При этом функции u(x) и v(x) называются действительной и мнимой частями комплексной функции y(x).

   Примером комплексной функции от действительной переменной является показательная функция с чисто мнимым показателем eix, которая определяется равенством (формула Эйлера)

            eix = cos x + i sin x.

   Функции cos x и sin x являются действительной и мнимой частями комплексной функции eix. Так как они определены при всех значениях x, то и функция eix определена при всех значениях x.

   Аналогично определяется показательная функция более общего вида eαx, где α = a + ib; причем a и b — действительные числа:

            eαx = e(a + ib)x = eax + eibx = eax(cos bx + i sin bx) = eaxcos bx + ieaxsin bx.

   Здесь действительная и мнимая части eaxcos bx, ieaxsin bx, а вместе с ними и функция eαx определены при всех значениях x.

   Введем понятие о производной комплексной функции действительной переменной. Предположим, что действительная и мнимая части комплексной функции (10.6)y(x) = u(x) + iv(x)   (i = ) имеют производную k-го порядка. Тогда производная k-го порядка этой функции определяется так:

            y(k) (x) = u(k) (x) + iv(k) (x).       (10.7)

   Используя формулу (10.7)y(k) (x) = u(k) (x) + iv(k) (x), можем вычислить значение оператора L от комплексной функции действительной независимой переменной. При этом получим

            L(u(x) + iv(x)) = L(u(x)) + iL(v(x)),       (10.8)

т. е. значение оператора L от комплексной функции (10.6)y(x) = u(x) + iv(x)   (i = ) является комплексной функцией действительной переменной x; причем действительной и мнимой частями этой функции являются значения оператора L от действительной и мнимой частей функции (10.6)y(x) = u(x) + iv(x)   (i = ).

   Дадим теперь понятие о комплексном решении однородного линейного уравнения L(y) = 0. Функция (10.6)y(x) = u(x) + iv(x)   (i = ) называется комплексным решением уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), если она обращает это уравнение в тождество

            L(u(x) + iv(x)) ≡ 0,       (10.9)

справедливое при всех значениях x из интервала (a, b). Тождество (10.9)L(u(x) + iv(x)) ≡ 0, в силу (10.8)L(u(x) + iv(x)) = L(u(x)) + iL(v(x)) равносильно следующему тождеству:

            L(u(x)) + iL(v(x)) ≡ 0,

откуда вытекает, что

            L(u(x)) ≡ 0, L(v(x)) ≡ 0  (a < x < b),

а это означает, что функции u(x) и v(x) являются решениями однородного уравнения L(y) = 0.

   Таким образом, действительная и мнимая части комплексного решения однородного линейного уравнения являются действительными решениями этого уравнения, так что знание одного комплексного решения дает возможность найти два действительных решения.

   Свойства решений однородного линейного уравнения

   Ниже увидим, что знание частных решений однородного линейного уравнения значительно облегчает (а иногда позволяет до конца решить задачу полного интегрирования этого уравнения) построение общего решения. Это оказывается возможным благодаря тому, что частные решения однородного уравнения обладают следующими замечательными свойствами:

  1. Если y1 = y1 (x) — частное решение однородного линейного уравнения L(y) = 0, то

                y = Cy1,

    где C — произвольная постоянная, тоже является решением этого уравнения.

    Таким образом, зная одно частное решение, можем (без квадратур!) получить целое (однопараметрическое) семейство решений.

    Это свойство иногда выражают так: решение однородного линейного уравнения определяется с точностью до постоянного множителя.

  2. Если y1 = y1 (x) и y2 = y2 (x) — частные решения однородного уравнения L(y) = 0, то их сумма

                y = y1 + y2

    тоже является решением этого уравнения.

    Наличие свойств 1 и 2 говорит о том, что множество решений однородного линейного уравнения является линейным пространством.

  3. Если y1, y2, …, ymчастные решения уравнения L(y) = 0, то

                y = Ckyk,

    где C1, C2, …, Cm — произвольные постоянные, тоже является решением этого уравнения.





Содержание

3.11. Линейная зависимость функций: основные понятия, теоремы.

   Линейная зависимость и независимость функций.

   Зная n частных решений y1, y2, …, yn можно построить семейство решений, зависящее от n произвольных постоянных:

            Ckyk       (11.1)

   Это решение будет общим решением, если частные решения y1, y2, …, yn обладают одним дополнительным свойством, относящимся к характеру зависимости между ними.

   Прежде чем сформулировать это свойство, введем понятие о линейной независимости функций.

   Пусть даны m функций от x:

            y1, y2, …, ym (a < x < b).       (11.2)

   Составим их линейную комбинацию с постоянными коэффициентами

            α1y1 + α2y2 + … + αmym.

   Если эта линейная комбинация тождественно равна нулю в интервале (a, b):

            α1y1 + α2y2 + … + αmym = 0   (a < x < b).

только в очевидном случае, т. е. при нулевых значениях коэффициентов α1, α2, …, αm то функции (11.2)y1, y2, …, ym (a < x < b) называются линейно независимыми в интервале (a, b). В противном случае функции (11.2)y1, y2, …, ym (a < x < b) называются линейно зависимыми в этом интервале. Две функции y1 и y2 линейно независимы в интервале (a, b), если

             ≠ const   (a < x < b).

   Теорема. Если функции (11.2)y1, y2, …, ym (a < x < b) линейно зависимы в интервале (a, b), то одна из них является линейной комбинацией остальных.

   Совокупность n решений

            α1, α2, …, αn   (a < x < b)       (11.3)

однородного линейного уравнения L(y) = 0, линейно независимых в интервале (a, b), называется фундаментальной системой решений этого уравнения в интервале (a, b).

   Определитель Вронского. Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений линейного дифференциального уравнения

   Дадим признак линейной независимости n частных решений (11.3)α1, α2, …, αn   (a < x < b) однородного линейного уравнения n-го порядка. С этой целью введем в рассмотрение определитель, составленный из данных частных решений и их производных до порядка n – 1 включительно:

            W(x) =

   Этот определитель называется определителем Вронского решений y1, y2, …, yn.

   Теорема. Для того чтобы решения (11.3)α1, α2, …, αn   (a < x < b) были линейно независимы в (a, b), т. е. в интервале непрерывности коэффициентов уравнения L(y) = 0, необходимо и достаточно, чтобы W(x) не обращался в нуль ни в одной точке из (a, b).

   Значение определителя Вронского n решений однородного линейного уравнения L(y) = 0 тесно связано с самим уравнением, а именно: имеет место следующая формула Остроградского—Лиувилля:

            W(x) = W(x0) .       (11.4)

   Из формулы (11.4)W(x) = W(x0) видно, что определитель Вронского n решений уравнения L(y) = 0 обладает двумя замечательными свойствами:

  1. Если W(x) обращается в нуль в одной точке из интервала (a, b), то он равен нулю во всех точках этого интервала.
  2. Если W(x) не равен нулю в одной точке из интервала (a, b), то он отличен от нуля во всех точках этого интервала.

   Таким образом, для того, чтобы n решений (11.3)α1, α2, …, αn   (a < x < b) составляли фундаментальную систему решений уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), достаточно, чтобы их определитель Вронского был отличен от нуля в одной точке x0 ∈ (a, b).

   Построение общего решения однородного линейного уравнения по фундаментальной системе решений

   Знание фундаментальной системы решений уравнения L(y) = 0 дает возможность построить общее решение этого уравнения.

   Основная теорема. Если функции (11.3)α1, α2, …, αn   (a < x < b) образуют фундаментальную систему решений однородного линейного уравнения n-го порядка L(y) в интервале (a, b), т. е. в интервале непрерывности коэффициентов p1(x), …, pn(x), то функция (11.1)Ckyk дает общее решение этого уравнения в области

            a < x < b, | y | < + ∞, | y ' | < + ∞, …, | y(n – 1) | < + ∞.       (11.5)

   В самом деле, в каждой точке области (11.5)a < x < b, | y | < + ∞, | y ' | < + ∞, …, | y(n – 1) | < + ∞ имеет место существование и единственность решения задачи Коши. Покажем, что функция (11.1)Ckyk удовлетворяет обоим условиям, указанным в определении общего решения уравнения n-го порядка.

   1. Система уравнений

                   (11.6)

разрешима в области (11.5)a < x < b, | y | < + ∞, | y ' | < + ∞, …, | y(n – 1) | < + ∞ относительно произвольных постоянных C1, C2, …, Cn так как определитель этой системы, будучи равен определителю Вронского для фундаментальной системы решений (11.3)α1, α2, …, αn   (a < x < b), отличен от нуля.

   2. Функция (11.1)Ckyk по третьему свойству решений однородного линейного уравнения является решением уравнения L(y) = 0 при всех значениях произвольных постоянных C1, C2, …, Cn.

   Поэтому функция (11.1)Ckyk является общим решением уравнения L(y) = 0 в области (11.5)a < x < b, | y | < + ∞, | y ' | < + ∞, …, | y(n – 1) | < + ∞.

   Формула (11.1)Ckyk содержит в себе все решения уравнения L(y) = 0, ибо она дает возможность найти решение, удовлетворяющее начальным условиям

y = y0, y ' = , …, y (n – 1) = при x = x0       (11.7)

где y0, , …, можно задавать произвольно, а x0 брать любым из интервала (a, b). Для этого достаточно подставить в систему (11.6) вместо x, y, y ', …, y (n – 1) начальные данные x0, y0, , …, и разрешить полученную систему

                   (11.8)

относительно произвольных постоянных C1, C2, …, Cn. Так как определитель системы (11.8) есть W(x0) и он отличен от нуля вследствие того, что система решений (11.3)α1, α2, …, αn   (a < x < b) фундаментальная, то эта система имеет единственное решение

            C1 = , C2 = , …, Cn =

   Подставляя найденные значения произвольных постоянных в общее решение (11.1)Ckyk, получим искомое решение:

            y = yk.

   Таким образом, фундаментальная система решений (11.3)α1, α2, …, αn   (a < x < b) является базисом n–мерного линейного пространства решений уравнения L(y) = 0.



Содержание

3.12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

   Характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения

   Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

            L(y) ≡ y (n) + a1 y (n – 1) + … + an – 1 y ' + an y = f (x),       (12.1)

где коэффициенты a1, a2, …, an суть действительные числа, а правая часть f (x) непрерывна в некотором интервале (a, b) (a ≥ – ∞, b ≤ + ∞).

   Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения

            L(y) ≡ y (n) + a1 y (n – 1) + … + an – 1 y ' + an y = 0.       (12.2)

   Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны при всех значениях x, то согласно теореме Пикара и все решения уравнения (12.2)L(y) ≡ y (n) + a1 y (n – 1) + … + an – 1 y ' + an y = 0 определены при всех значениях x. Поэтому в дальнейшем мы не будем указывать ни интервал существования частных решений, ни область задания общего решения.

   Эйлер доказал, что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций, и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях. Ниже это утверждение доказывается для уравнения второго порядка и распространяется на уравнение n-го порядка.

   Рассмотрим уравнение второго порядка

            L(y) ≡ y '' + py ' + qy = 0,       (12.3)

где p и q — действительные числа. Будем, следуя Эйлеру, искать частное решение уравнения (12.3)L(y) ≡ y '' + py ' + qy = 0 в виде

            y = eλx,       (12.4)

где λ — подлежащее определению число (действительное или комплексное). Согласно определению решения функция (12.4)y = eλx будет решением уравнения (12.3)L(y) ≡ y '' + py ' + qy = 0, если λ выбрано так, что функция (12.4)y = eλx обращает это уравнение в тождество

            L(eλx) ≡ 0.       (12.5)

   Вычисляя L(eλx), т. е. подставляя функцию (12.4)y = eλx в левую часть уравнения (12.3)L(y) ≡ y '' + py ' + qy = 0, и принимая во внимание, что

            (eλx)(k) = λk eλx,       (12.6)

будем иметь

            L(eλx) = (eλx)'' + p(eλx)' + q(eλx) = (λ2 + pλ + q)eλx,

так что

            L(eλx) = (λ2 + pλ + q)eλx       (12.7)

или

            L(eλx) = P(λ)eλx,

где

            P(λ) = λ2 + pλ + q.

   Из формулы (12.7)L(eλx) = (λ2 + pλ + q)eλx следует, что интересующее нас тождество (12.5)L(eλx) ≡ 0 будет выполняться тогда и только тогда, когда P(λ) = 0, т. е. когда λ является корнем уравнения

            λ2 + pλ + q = 0.       (12.8)

   Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его корни — характеристическими числами уравнения (12.3)L(y) ≡ y '' + py ' + qy = 0.

   Заметим, что характеристическое уравнение (12.8)λ2 + pλ + q = 0 может быть составлено по данному дифференциальному уравнению (12.3)L(y) ≡ y '' + py ' + qy = 0 заменой y '', y ' и y на λ2, λ и 1, т. е. степень λ совпадает с порядком производной, если условиться считать, что производная нулевого порядка от функции есть сама функция y(0)y.

   Структура фундаментальной системы решений, а вместе с ней и общего решения уравнения (12.3)L(y) ≡ y '' + py ' + qy = 0 зависит от вида корней характеристического уравнения (12.8)λ2 + pλ + q = 0.

   Интегрирование однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае различных корней характеристического уравнения

   Рассмотрим сначала случаи, когда эти корни различные и действительные. Обозначим их через λ1 и λ2. Тогда, подставляя в формулу (12.4)y = eλx вместо λ числа λ1 и λ2, получим два частных решения уравнения (12.3)L(y) ≡ y '' + py ' + qy = 0

            y1 = , y1 = .       (12.9)

   Эти решения, очевидно, линейно независимы, так как их отношение

             =

не равно тождественно постоянной величине. В линейной независимости решений (12.9)y1 = , y1 = можно убедиться также при помощи определителя Вронского. Имеем

            W(x) = = (λ2λ1) ≠ 0.

   Следовательно, частные решения y1 = , y1 = образуют фундаментальную систему решений. Тогда общим решением уравнения (12.3)L(y) ≡ y '' + py ' + qy = 0 будет

            y = C1 + C2 .

   Предположим теперь, что корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты этого уравнения действительные, то эти комплексные корни являются сопряженными, так что они имеют вид

            λ1 = a + bi, λ2 = abi.

   Подставляя корень λ1 = a + bi в формулу (12.4)y = eλx, получим комплексное решение

            y = e(a + bi)x.       (12.10)

Но

            e(a + bi)x = eax eibx = eax(cos ax + i sin bx),

поэтому решение (12.10)y = e(a + bi)x можно записать так:

            y = eaxcos ax + i eaxsin bx.       (12.11)

   Отделяя в комплексном решении (12.11)y = eaxcos ax + i eaxsin bx действительную и мнимую части, получим два действительных частных решения

            y1 = eaxcos ax, y2 = eaxsin bx.       (12.12)

   Эти решения, очевидно, независимы, так как

             ≠ const.

   Аналогично убеждаемся, что сопряженному корню λ2 = abi соответствуют действительные частные решения

            eaxcos ax, – eaxsin bx.       (12.13)

   Решения (12.13)eaxcos ax, – eaxsin bx, очевидно, линейно зависимы с решениями (12.12)y1 = eaxcos ax, y2 = eaxsin bx.

   Таким образом, паре сопряженных комплексных корней λ1, 2 = a ± bi соответствуют два действительных линейно независимых частных решения (12.12)y1 = eaxcos ax, y2 = eaxsin bx.

   Решения (12.12)y1 = eaxcos ax, y2 = eaxsin bx образуют фундаментальную систему решений уравнения (12.3)L(y) ≡ y '' + py ' + qy = 0. Поэтому

            y = C1eaxcos ax + C2eaxsin bx

или

            y = eax(C1cos ax + C2sin bx)

будет общим решением уравнения (12.3)L(y) ≡ y '' + py ' + qy = 0.

   Если корни λ1 и λ2 чисто мнимые, т. е.  λ1 = ib   и   λ2 = – ib,  то им соответствуют линейно независимые частные решения вида

            y1 = C1 cos ax,  y2 = C2 sin bx.       (12.14)

   Эти решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (12.3)L(y) ≡ y '' + py ' + qy = 0, а

            y = C1cos ax + C2sin bx

есть общее решение этого уравнения.

   Случай кратных корней характеристического уравнения

   Предположим теперь, что характеристическое уравнение (12.8)λ2 + pλ + q = 0 имеет равные корни λ1 = λ2 = – . Нам надо найти два линейно независимых частных решения. Одним частным решением, очевидно, будет

            y1 =       (12.15)

или

            y1 = .       (12.15, а)

   Убедимся непосредственной подстановкой в уравнение (12.3)L(y) ≡ y '' + py ' + qy = 0 в том, что

             y2 = x       (12.16)

есть второе частное решение уравнения (12.3)L(y) ≡ y '' + py ' + qy = 0, линейно независимое с решением (12.15)y1 = :

             = x,

             = – p + x.       (12.17)

   Поэтому

            L(x) = – px + x + pxx + qx = + q x ≡ 0       (12.18)

так как q = 0.

   Общим решением уравнения (12.3)L(y) ≡ y '' + py ' + qy = 0 будет

            y = (C1 + C2x).



Содержание

3.13. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение, структура общего решения. Принцип наложения.

   Структура общего решения неоднородного линейного уравнения

   Рассмотрим неоднородное линейное уравнение n-го порядка:

            L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x).       (13.1)

   Покажем, что, как и в случае линейного неоднородного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного уравнения (13.1)L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x) приводится к интегрированию однородного уравнения, если известно одно частное решение неоднородного уравнения (13.1)L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x).

   Действительно, пусть y = y1 (x) — частное решение уравнения (13.1)L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x), т. е.

            L(y1 (x)) ≡ f (x)   (a < x < b).       (13.2)

   Положим

            y = y1 + z,       (13.3)

где z — новая неизвестная функция от x. Тогда уравнение (13.1)L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x) примет вид

            L(y1 + z) = f (x) или L(y1) + L(z) = f (x),

откуда в силу тождества (13.2)L(y1 (x)) ≡ f (x)   (a < x < b) получаем

            L(z) = 0.       (13.4)

   Это есть однородное линейное уравнение, левая часть которого та же, что и у рассматриваемого неоднородного уравнения (13.1)L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x). Уравнение (13.4)L(z) = 0 называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (13.1)L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x).

   Пусть

            z1 (x), z2 (x), …, zn (x)   (a < x < b)

есть фундаментальная система решений однородного уравнения (13.4)L(z) = 0. Тогда все решения этого уравнения содержатся в формуле его общего решения

            z = Ck zk       (13.5)

   Подставляя это значение z в формулу (13.3)y = y1 + z, получим

            y = y1 + Ck zk       (13.6)

   Эта формула содержит в себе все решения неоднородного линейного уравнения (13.1)L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x). Функция (13.6)y = y1 + Ck zk, как нетрудно убедиться, является общим решением уравнения (13.1)L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x).

   Таким образом мы доказали следующую теорему о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (13.1)L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x).

   Теорема. Общее решение неоднородного линейного уравнения (13.1)L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x) равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (13.4)L(z) = 0.

   Общее решение (13.6)y = y1 + Ck zk дает возможность решить задачу Коши с любыми начальными данными x0, y0, , …, из области (11.5)a < x < b, | y | < + ∞, | y ' | < + ∞, …, | y(n – 1) | < + ∞ за счет выбора соответствующих значений произвольных постоянных.

   Принцип наложения

   Задача нахождения частного решения неоднородного уравнения (13.1)L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x) во многих случаях облегчается, если воспользоваться замечательным свойством частных решений, выражаемым следующей теоремой.

   Теорема (принцип наложения). Если в уравнении (13.1)L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x) правая часть f (x) имеет вид

            f (x) = f1 (x) + f2 (x)

и известно, что y1 есть частное решение уравнения

            L(y) = f1 (x),

а y2 — частное решение уравнения

            L(y) = f2 (x),

то сумма этих частных решений y1 + y2 будет частным решением уравнения (13.1)L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x).



Содержание

3.14. Подбор частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

   Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид полинома от x степени m

   Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).

   Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида

            L(y) ≡ y (n) + a1 y (n – 1) + … + an – 1 y ' + an y = Pm (x)e αx,       (14.1)

где a1, …, an — действительные числа, α — действительное число, Pm (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.

   Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что задается вид частного решения с неопределенными коэффициентами, которые определяются подстановкой в данное уравнение. Вид частного решения уравнения зависит от того, совпадает ли число α с корнями характеристического уравнения:

  1. Если α не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид

                 y1 = Qm (x)e αx,

    где Qm (x) — полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению.

  2. Если α является корнем характеристического уравнения кратности k, то

                y1 = xk Qm (x)e αx,

    т. е. частное решение приобретает множитель xk.



   Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:

            e αx(P1 (x)cos bx + P2 (x)sin bx).

   Рассмотрим уравнение

            L(y) ≡ y (n) + a1 y (n – 1) + … + an – 1 y ' + an y = e αx(P1 (x)cos bx + P2 (x)sin bx),       (14.2)

где α и b — действительные числа, P1 и P2 — полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю.

   Составим комплексное число α + ib, где действительная часть α есть коэффициент показателя множителя e αx, а мнимая часть b — коэффициент аргумента bx функций cos bx и sin bx.

   Укажем вид частного решения уравнения (14.2)L(y) ≡ y (n) + a1 y (n – 1) + … + an – 1 y ' + an y = e αx(P1 (x)cos bx + P2 (x)sin bx) в двух случаях:

  1. Если число α + ib не является корнем характеристического уравнения, то

                y1 = e αx(Q1 (x)cos bx + Q2 (x)sin bx),

    где Q1 и Q2 — полиномы степени m с неопределенными коэффициентами; причем надо брать оба эти полинома даже в том случае, когда один из полиномов P1 и P2 тождественно равен нулю.

  2. Если число α + ib есть корень характеристического уравнения кратности k, то

                y1 = xke αx(Q1 (x)cos bx + Q2 (x)sin bx),

    т. е. частное решение приобретает множитель xk.





Содержание

3.15. Метод вариации произвольных постоянных.

   Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) для уравнения второго порядка

   Пусть дано неоднородное линейное уравнение второго порядка

            L(y) ≡ y'' + p(x)y' + q(x)y = f (x),       (15.1)

где коэффициенты p(x), q(x) и правая часть f (x) есть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

   Рассмотрим наряду с уравнением (15.1)L(y) ≡ y'' + p(x)y' + q(x)y = f (x) соответствующее ему однородное уравнение

            L(y) ≡ z'' + p(x)z' + q(x)z = 0       (15.2)

   Пусть z1, z2 — фундаментальная система решений уравнения (15.2)L(y) ≡ z'' + p(x)z' + q(x)z = 0, так что

            L(z1) ≡ 0, L(z2) ≡ 0       (15.3)

и

            W(x) = ≠ 0       (15.4)

   Тогда, как известно, общее решение уравнения (15.3)L(z1) ≡ 0, L(z2) ≡ 0 имеет вид

            z = C1z1 + C2z2,

где C1 и C2 — произвольные постоянные.

   Будем искать решение уравнения (15.1)L(y) ≡ y'' + p(x)y' + q(x)y = f (x) в виде

            z = C1(x)z1 + C2(x)z2,       (15.5)

где C1(x) и C2(x) — некоторые функции от x, подлежащие определению.

   Подставляя (15.5)z = C1(x)z1 + C2(x)z2 в уравнение (15.1)L(y) ≡ y'' + p(x)y' + q(x)y = f (x), получим одно условие, которому должны удовлетворять две неизвестные функции — C1(x) и C2(x). Это условие будет иметь вид

            L(C1(x)z1 + C2(x)z2) = f (x).       (15.6)

   Оно содержит производные второго порядка от искомых функций C1(x) и C2(x), так что на первый взгляд задача усложнилась: вместо уравнения второго порядка (15.1)L(y) ≡ y'' + p(x)y' + q(x)y = f (x) с одной неизвестной функцией y мы получили уравнение того же порядка, но уже с двумя неизвестными функциями — C1(x) и C2(x). Однако мы покажем, что искомые функции можно подчинить такому дополнительному условию, что в уравнение (15.6)L(C1(x)z1 + C2(x)z2) = f (x) не войдут производные второго порядка от этих функций.

   Дифференцируя обе части равенства (15.5)z = C1(x)z1 + C2(x)z2, имеем y' = C1(x) + C2(x) + (x)z1 + (x)z2.

   Чтобы при вычислении y'' не появились производные второго порядка от C1(x) и C2(x), положим

            (x)z1 + (x)z2 = 0.

   Это и есть то дополнительное условие на искомые функции C1(x) и C2(x), о котором говорилось выше. При этом условии выражение для y' примет вид

            y' = C1(x) + C2(x).       (15.7)

   Вычисляя теперь y'', получим

            y'' = C1(x) + C2(x) + (x) + (x).       (15.8)

   Подставим выражения для y, y' и y'' из формул (15.5)z = C1(x)z1 + C2(x)z2, (15.7)y' = C1(x) + C2(x) и (15.8)y'' = C1(x) + C2(x) + (x) + (x) в уравнение (15.1)L(y) ≡ y'' + p(x)y' + q(x)y = f (x). Для этого умножим левые и правые части этих формул соответственно на q, p и 1, сложим почленно и приравняем сумму правой части уравнения (15.1)L(y) ≡ y'' + p(x)y' + q(x)y = f (x). Получим

            C1(x)L(z1) + C1(x)L(z2) + (x) + (x) = f (x).

   Здесь в силу (15.3)L(z1) ≡ 0, L(z2) ≡ 0 первые два слагаемых равны нулю, поэтому

            (x) + (x) = f (x).

   Это и есть новый вид условия (15.6)L(C1(x)z1 + C2(x)z2) = f (x). Теперь оно уже не содержит производных второго порядка от C1(x) и C2(x).

   Таким образом мы получили систему дифференциальных уравнений

            

   Эта система в силу (15.4)W(x) = ≠ 0 однозначно разрешима относительно (x) и (x). Решая ее, получим

            (x) = φ1(x) и (x) = φ2(x),

где φ1(x) и φ2(x) суть вполне определенные функции от x. Их можно найти, например, по правилу Крамера. При этом, так как z1, z2, и непрерывны в интервале (a, b), то в силу (15.4)W(x) = ≠ 0 функции φ1(x) и φ2(x) будут непрерывны в интервале (a, b). Поэтому

            C1(x) = φ1(x)dx + C1,   C2(x) = φ2(x)dx + C2,

где C1 и C2 — произвольные постоянные.

   Подставляя найденные значения функций C1(x) и C2(x) в формулу (15.5)z = C1(x)z1 + C2(x)z2, получим

            y = z1φ1(x)dx + z2φ2(x)dx + C1z1 + C2z2.       (15.9)

   Полагая здесь C1 = C2 = 0, получим частное решение

            y1 = z1φ1(x)dx + z2φ2(x)dx

так что формулу (15.9)y = z1φ1(x)dx + z2φ2(x)dx + C1z1 + C2z2 можно записать в виде

            y = y1 + C1z1 + C2z2,

откуда в силу теоремы о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения следует, что формула (15.9)y = z1φ1(x)dx + z2φ2(x)dx + C1z1 + C2z2 дает общее решение уравнения (15.1)L(y) ≡ y'' + p(x)y' + q(x)y = f (x). Все решения, входящие в формулу (15.9)y = z1φ1(x)dx + z2φ2(x)dx + C1z1 + C2z2, заведомо определены в интервале (a, b).

   Метод вариации произвольных постоянных для уравнения n-го порядка

   Изложенный метод вариации произвольных постоянных легко распространяется на уравнение n-го порядка. Пусть дано неоднородное линейное уравнение n-го порядка

            y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x),

где коэффициенты p1 (x), …, pn (x) и правая часть f (x) суть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

   Рассмотрим соответствующее однородное уравнение.

            z (n) + p1 (x) z (n – 1) + … + pn – 1 (x) z ' + pn (x) z = 0.       (15.10)

   Пусть z1, z2, …, zn — фундаментальная система решений этого уравнения. Тогда

            z = Ckzk

есть общее решение уравнения (15.10)z (n) + p1 (x) z (n – 1) + … + pn – 1 (x) z ' + pn (x) z = 0.

   Решение данного неоднородного уравнения ищется в виде

            y = Ck(x)zk,       (15.11)

где функции Ck(x) определяются из системы уравнений

            

   Решая эту систему относительно (k = 1, 2, …, n), находим

             = φk(x) (k = 1, 2, …, n),

откуда

            Ck(x) = φk(x)dx + Ck (k = 1, 2, …, n).

   Подставляя найденные значения Ck(x) в формулу (15.11)y = Ck(x)zk, получаем

            y = zkφk(x)dx + Ckzk.       (15.12)

   Это и есть общее решение уравнения. Все решения, входящие в формулу (15.12)y = zkφk(x)dx + Ckzk, заведомо определены в интервале (a, b).