Содержание


2.1. Основные понятия.

   Если {an} — числовая последовательность, то последовательность {Sn}

            S1 = a1, S2 = a1 + a2, …, Sn = a1 + a2 + … + an, …

называют последовательностью частичных сумм (бесконечного) ряда, который обозначают

            a1 + a2 + … + an + … или an;

an называют общим членом ряда.

   Если последовательность частичных сумм имеет (конечный) предел S, т. е. Sn = S, то говорят, что ряд

             an = a1 + a2 + a3 + …     (1)

сходится и имеет сумму S, и пишут: an = S. Если последовательность частичных сумм не имеет (конечного) предела, то бесконечный ряд (1) называется расходящимся. Тем самым сходимость ряда сводится к сходимости последовательности его частичных сумм.

   Критерий Коши. Числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдется такое натуральное N, что для всех nN и любого натурального k выполняется неравенство

             as = | an + 1 + … + an + k | < ε.

   Отсюда получаем необходимый признак сходимости ряда: последовательность членов сходящегося ряда должна стремится к нулю:  an = 0. Это условие не является достаточным.

   Если отбросить первые n членов ряда, то получится ряд

            an + 1 + an + 2 + … = as,

который называется n-м остатком ряда и обозначается через Rn.

   Основные свойства сходящихся рядов.

  1. Отбрасывание или изменение конечного числа членов ряда не влияет на сходимость (или расходимость) ряда.
  2. Если все члены сходящегося ряда умножить на множитель n, то его сходимость не нарушится (сумма ряда умножится на n).
  3. Два сходящихся ряда an и a'n с суммами S и S' можно почленно складывать или вычитать. Ряд (an ± a'n) сходится и имеет сумму S ± S'.
  4. Если ряд сходится, то его члены можно группировать в порядке их следования. Полученный ряд сходится, и его сумма равна сумме исходного ряда.


Содержание

2.2. Признаки сходимости и расходимости рядов с неотрицательными членами.

  1. Ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм ограничена сверху.

  2. Признак сравнения рядов с положительными членами. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами an и bn. Если существует натуральное число N такое, что неравенство anbn выполнено для всех nN, то из сходимости ряда bn следует сходимость ряда an, а из расходимости ряда an — расходимость ряда bn.


  3. Признак Даламбера.

    а) Если существует натуральное число N такое, что для последовательности чисел qn = , построенной из членов ряда an, an > 0, для всех n ≥ N выполняется неравенство q < 1 (q — фиксированное число, не зависящее от n), то ряд сходится; если для всех nN выполняется неравенство ≥ 1, то ряд an расходится.

    б) Если последовательность , построенная из членов ряда an, an > 0, имеет некоторый предел n, = p, то при p < 1 ряд an сходится, а при p > 1 расходится (предельный признак Даламбера).

    При p = 1 предельный признак Даламбера не дает ответа на вопрос, сходится данный ряд или расходится.


  4. Признак Коши.

    а) Если существует натуральное число N такое, что для числовой последовательности {}, построенной из членов ряда an, an ≥ 0, для всех nN выполняется неравенство q < 1 (q — фиксированное число, не зависящее от n), то ряд сходится; если для всех nN выполняется неравенство ≥ 1, то ряд расходится.

    б) Если у последовательности {}, построенной из членов ряда an, an ≥ 0, существует = p, то ряд an сходится при p < 1 и расходится при p > 1.

    При p = 1 предельный признак Коши не дает ответа на вопрос, сходится данный ряд или расходится.


  5. Интегральный признак (Коши, Маклорен).

    Пусть данный ряд имеет вид an = f (n), причем f (n) есть значение в точке x = n некоторой функции f (x), определенной при xn0. Если f (x) монотонно убывает и в области определения справедливо неравенство f (x) ≥ 0, то ряд an сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл f (x) dx.



Содержание

2.3. Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость.

   Ряд называется знакочередующимся, если его члены являются (поочередно) положительными и отрицательными. Это ряд можно записать в виде

             (– 1)n – 1 cn = c1c2 + c3c4 + … + (– 1)n – 1 cn + …,     (2)

где cn > 0 для любого n (если первый член ряда отрицательный, то исследуют – (– 1)n – 1 cn).

   Признак Лейбница. Если для членов ряда (2)

            cncn + 1 (n = k, k + 1, …) и cn = 0,

то ряд сходится.

   Остаток у знакочередующихся рядов можно легко оценить. Если ряд (– 1)n – 1 cn сходится и имеет сумму S, то остаток Rn = S (– 1)n – 1 cs имеет знак (– 1)n – 1 и | Rn | ≤ cn + 1.

   Другие признаки сходимости.

   Признак Абеля. Если ряд bn сходится, а последовательность {an} (n = 1, 2, …) монотонна и ограничена, то ряд an bn сходится.

   Признак Дирихле. Если частичные суммы ряда bn ограниченны, | Sn | < M, а последовательность {an} монотонна и an = 0, то ряд an bn сходится.

   Признак Лейбница является частным случаем признака Дирихле.

   Абсолютная и условная сходимость. Ряд an называется абсолютно сходящимся, если ряд | an | из абсолютных величин исходного ряда сходится. Ряд an называется условно сходящимся, если он сходится, но не абсолютно, т. е. ряд | an | расходится.

   Если ряд an сходится абсолютно, то он сходится в обычном смысле, т. е. из сходимости ряда | an | следует сходимость ряда an.

   Таким образом, для того чтобы исследовать сходимость знакопеременного ряда an, строят ряд | an | и исследуют его. Если ряд | an | сходится, то сходится также и ряд an (но если ряд абсолютно расходится, то о его сходимости ничего сказать нельзя).

   Свойства абсолютно сходящихся рядов.

  1. В абсолютно сходящемся ряде последовательность членов может быть изменена любым образом, при этом характер сходимости ряда и величина его суммы не изменятся. Сходящиеся ряды, суммы которых не зависят последовательности членов, называют безусловно сходящимися.

    Если ряд сходится условно, а σ — любое заданное число, то члены ряда можно так переупорядочить, что преобразованный ряд будет сходится, и число σ будет его суммой (теорема Римана).

  2. Под произведение двух бесконечных рядов an и bn понимают ряд, образованный из всевозможных произведений an bk (n, k = 1, 2, …). Эти произведения an bk можно упорядочить многими способами и получить тем самым различные ряды. Следующая теорема Коши дает условие того, чтобы все эти ряды сходились и имели одну и ту же сумму.

    Теорема Коши. Если ряды an и bn сходятся абсолютно и имеют суммы A и B соответственно, то все их произведения также сходятся абсолютно и имеют сумму A·B. В этом случае справедлива формула

                 an bn = am bm – n

    (формула умножения Коши).

    Формула умножения Коши имеет место и тогда, когда один из двух рядов an или bn сходится абсолютно, а другой ряд просто сходится. Ряд–произведение в этом случае просто сходится, но не абсолютно.



Содержание

2.4. Функциональные последовательности. Функциональные ряды.

   Отображение множества натуральных чисел N во множество действительных функций одного переменного x, определенных на промежутке I, называется функциональной последовательностью и обозначается

            { fn (x) } или f1 (x), f2 (x), f3 (x), …;     (3)

функции fn (x) называются членами последовательности. Каждое значение xI, для которого последовательность (3) имеет некоторый (конечный) предел, принадлежит области сходимости этой последовательности. Таким образом, последовательность определяет в области сходимости некоторую функцию

            f (x) = fn (x),

которая называется предельной функцией (или пределом) последовательности. В дальнейшем предполагаем, что область сходимости совпадает с областью определения I.

   Для того чтобы охарактеризовать предельную функцию, используют понятие равномерной сходимости. Функциональная последовательность сходится к предельной функции f (x) равномерно в I, если для любого ε > 0 найдется такое N (ε), не зависящее от x, что для всех n > N (ε) и для всех xI выполняется неравенство

            | fn (x) – f (x)| < ε.

Обозначение: fn (x) f (x).

   Если существует такое ε > 0, что для каждого числа N имеется по меньшей мере одно n > N и x0I такие, что | fn (x0) – f (x0)| > ε, то говорят, что последовательность сходится неравномерно.

   Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Последовательность (3) сходится равномерно в I тогда и только тогда, когда для каждого ε > 0 существует не зависящее от x число N (ε) такое, что при nN и для любого mN

            | fn + m (x) – fn (x)| < ε для всех xI одновременно.

   Функциональные ряды. Бесконечный ряд, построенный из функциональной последовательности

             fn (x) = f1 (x) + f2 (x) + … + fn (x) + …

называется функциональным рядом. Понятия «область сходимости», «предельная функция» и «равномерная сходимость» переносятся на функциональную последовательность частичных сумм Sn (x) = fs (x). Разность между суммой S (x) сходящегося функционального ряда и одной из его частичных сумм Sn (x) называют остатком и обозначают

            Rn (x) = S (x) – Sn (x) = fs (x).

   Признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов. Ряд fn (x) сходится на промежутке I равномерно, если существует сходящийся числовой ряд an с положительными членами такой, что для всех nN и всех xI выполняется неравенство

            | fn (x) | ≤ an.

   Ряд an называется мажорантой функционального ряда fn (x).

   Признак Абеля равномерной сходимости рядов. Ряд an (x) bn (x) сходится для всех xI равномерно, если ряд bn (x) сходится в I равномерно и для каждого xI последовательность {an (x)} является монотонной и ограниченной.

   Признак Дирихле равномерной сходимости рядов. Ряд an (x) bn (x) сходится для всех xI равномерно, если частичные суммы (x) = bk (x) равномерно ограниченны: | (x)| ≤ M, M = const, и если последовательность {an (x)} монотонно и равномерно стремится к нулю.

   Свойства равномерно сходящихся рядов.

  1. Пусть функции fn (x) (n = 1, 2, …) определены на отрезке I = [a, b] и непрерывны в некоторой точке x = x0 этого отрезка. Если ряд fn (x) сходится на I равномерно, то сумма f (x) ряда также непрерывна в точке x = x0. Тогда

                 fn (x) = fn (x)


  2. Пусть функции fn (x) (n = 1, 2, …) определены на отрезке I = [a, b], и пусть ряд fn (x) сходится на I равномерно и имеет сумму f (x). При этих условиях ряд можно почленно интегрировать (т. е. поменять местами знак бесконечной суммы и знак интегрирования):

                 f (x) dx = fn (x) dx = fn (x) dx.

    Замечания.

    1) Для почленного интегрирования ряда достаточно, чтобы функции fn (x) (n = 1, 2, …) были интегрируемы по [a, b] (не обязательно непрерывны).

    2) Равномерная сходимость ряда fn (x) не является необходимой для перестановки знака интегрирования со знаком бесконечной суммы.


  3. Пусть функции fn (x) (n = 1, 2, …) на отрезке I = [a, b] имеют непрерывные производные f 'n (x). Если на этом отрезке ряд fn (x) сходится, а ряд, составленный из производных f 'n (x), сходится, и притом равномерно, то сумма f (x) ряда fn (x) имеет на I непрерывную производную, причем

                f ' (x) = fn (x) = f 'n (x).

    Замечания.

    1) Если ряд fn (x) сходится только в одной точке I, а f 'n (x) сходится на I равномерно, то ряд fn (x) на I сходится равномерно.

    2) Эти свойства рядов можно перенести на функциональные последовательности.



   Пусть F — множество функций, определенных на отрезке I = [a, b]. Множество F называется равномерно ограниченным, если существует число M такое, что | f (x)| ≤ M, где xI, для всех функций f (x) ∈ F (M не должно зависеть от конкретной fF). Множество F называется равностепенно непрерывным, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x1, x2I, удовлетворяющих условию | x1x2 | < δ, и для всех fF выполняется неравенство

            | f (x1) – f (x2)| < ε

(δ зависит только от ε: δ = δ(ε) и не зависит от f и от x1, x2I).

Содержание

2.5. Степенные ряды.

   Степенной ряд есть функциональный ряд с общим членом fn (y) = an( yy0 )n (n = 0, 1, 2, …) (an — действительные числа):

             an( yy0 )n = a0 + a1( yy0 ) + a2( yy0 )2 + … + an( yy0 )n + …

   Действительное число y0 называется центром степенного ряда. Заменой переменного x = yy0 этот степенной ряд преобразуется в степенной ряд

             an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn + …

с нулевым центром. В дальнейшем ограничимся исследованием рядов именно такого вида.

   Существуют степенные ряды, которые

а) сходятся при всех x (всюду сходящиеся степенные ряды), например ;

б) сходятся только при x = 0, например n! xn;

в) для некоторых x ≠ 0 сходятся, для других расходятся, например xn.

   Свойства степенных рядов.

  1. Если степенной ряд an xn сходится при x1, то он абсолютно сходится для всех x, удовлетворяющих неравенству | x | < | x1 |, а если степенной ряд расходится при x2, то он расходится и для всех х, удовлетворяющих неравенству | x | > | x2 |.

  2. Если степенной ряд an xn при некоторых x ≠ 0 сходится, а при остальных расходится, то существует, и притом только одно, положительное число r такое, что степенной ряд при | x | < r сходится, и даже абсолютно, а при | x | > r расходится. При x = r и x = – r ряд может как сходиться, так и расходиться. Число r называют радиусом сходимости степенного ряда. Если r > 0, то промежуток (– r, r) называется интервалом сходимости степенного ряда.

    Для вычисления радиуса сходимости используется теорема Коши – Адамара: радиус r сходимости ряда an xn равен обратной величине верхнего предела последовательности {}:

                r =

    (при этом r = ∞, если = 0, и r = 0, если = ∞).

    Верхний предел r числовой последовательности {bn} есть верхняя граница «сгущения» последовательности, т. е. для любого ε > 0 существует только конечное число индексов n таких, что bn > r + ε, но для бесконечного числа n справедливо неравенство bn > r – ε. Если для любого действительного числа C имеется бесконечное множество индексов n таких, что bn > C, то говорят, что верхний предел равен + ∞; если напротив, имеется только конечное число индексов n таких, что bn > C, то говорят, что верхний предел равен – ∞. Верхний предел существует всегда. Если существует , то

                 = .

    Радиус сходимости r степенного ряда an xn может быть вычислен также при помощи признака Даламбера: если существует предел = q, то r = (r = ∞ при q = 0 и r = 0 при q = ∞).


  3. В каждой внутренней точке интервала сходимости степенной ряд сходится абсолютно. Во всяком замкнутом промежутке, который целиком лежит в интервале сходимости, степенной ряд сходится равномерно. Если степенной ряд сходится при x = r (не обязательно абсолютно), то степенной ряд на [0 , r] сходится равномерно. (Если степенной ряд расходится при x = r, то на отрезке [0 , r] степенной ряд не может сходится равномерно.)

  4. Степенные ряды an xn и an + k xn (k = 0, 1, 2, …) имеют один и тот же радиус сходимости, однако в граничных точках интервала сходимости ряды могут иметь различное поведение.

  5. Теорема единственности разложения в степенной ряд. Если два ряда an xn и bn xn сходятся в одном и том же интервале | x | < r и во всех его точках (или только в бесконечном подмножестве точек, имеющих нуль в качестве предельной точки) имеют одинаковые суммы, то эти суммы совпадают, т. е. an = bn для n = 0, 1, 2, …

  6. Если an( xx0 )n — степенной ряд с радиусом сходимости r > 0, то его сумму f (x) можно разложить также в степенной ряд с центром в любой точке x1 из интервала сходимости:

                f (x) = bn( xx1 )n, где bn = an + m( xx1 )m.

    При этом все ряды, которые представляют bn, сходятся (см. свойство 4), а для радиуса сходимости r1 нового ряда справедливо неравенство

                r1r – | xx0 |.


  7. а) Сумма f (x) степенного ряда an xn для всех значений x из интервала сходимости (– r, r) есть непрерывная функция. Если степенной ряд сходится при x = r, то сумма f (x) при этом значении x также непрерывна (слева):

                 f (x) = an rn.

    Если степенной ряд сходится при x = – r, то сумма f (x) при x = – r непрерывна справа (теорема Абеля о предельном значении).

    б) Степенной ряд an xn всегда можно почленно интегрировать на отрезке [0, x1], где | x1 | < r:

                 f (t) dt = an tn dt = an ;

    при этом x1 может совпадать с одним из концов интервала сходимости, если степенной ряд сходится в этой точке.

    в) Степенной ряд an xn внутри его интервала сходимости можно почленно дифференцировать:

                f ' (x) = an = n an xn – 1.

    Это утверждение верно также и для концов интервала сходимости, если ряд n an xn – 1 сходится в этих точках. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать любое число раз:

                f (k) (x) = an xn – k = k! an + k xn.


  8. Действия со степенными рядами.

    а) Если f (x) = an xn и g (x) = bn xn, то для любого x, являющегося внутренней точкой интервалов сходимости обоих рядов, можно построить сходящиеся ряды

                f (x) ± g (x) = (an ± bn) xn,   f (x) · g (x) = am bm – n xn.

    б) Пусть g (x) — сумма степенного ряда с радиусом сходимости r : g (x) = bn xn, а f (u) — сумма степенного ряда с радиусом сходимости r' : f (u) = an un. Тогда F (x) = f (g (x)) снова есть сумма некоторого степенного ряда: F (x) = cn xn — по крайней мере для тех x, для которых ряд |bn xn| сходится и имеет сумму, меньшую, чем r'. Коэффициенты cn вычисляются при помощи рядов: cn = am bmn которые абсолютно сходятся при условии, что | b0 | < r', где (g (x))k =  bkn xn. Другими словами, чтобы получить степенной ряд F (x), можно подставить u = bn xn в степенной ряд an un и привести подобные члены.

    в) Если функция f (x) в окрестности нулевой точки есть сумма степенного ряда an xn и f (0) – a0 ≠ 0, то функция в окрестности нулевой точки есть сумма некоторого степенного ряда cn xn; так как для малых x оба ряда сходятся, то

                1 = · f (x) = am cn – m xn,

    и согласно теореме о единственности разложения функции в степенной ряд выполняются соотношения

                1 = a0 c0, 0 = am cn – m при n ≥ 1;

    отсюда можно найти cn. Точно так же можно представить отношение двух функций g/f, являющихся суммами степенных рядов, как сумму степенного ряда cn xn в некоторой окрестности нуля, если a0 = f (0) ≠ 0. Коэффициенты cn вычисляются из соотношения

                 = cn xn

                или bn xn = an xn cn xn ,

    т. е. из системы bn = am cn – m для n = 0, 1, 2, …



Содержание

2.6. Аналитические функции. Ряд Тейлора.

   Функция f (x) называется аналитической в точке x0, если для всех x, удовлетворяющих условию | xx0 | < f, функция f (x) есть сумма некоторого степенного ряда:

            f (x) = an ( xx0 )n.

   Каждая аналитическая в точке x0 функция аналитична также в некоторой окрестности x0. Сумма, разность и произведение аналитических функций — аналитические функции. Если функция f (x) — аналитическая в x0 и f (x0) ≠ 0, то функция — также аналитическая в x0. Функция f (g (x)) аналитична в x0, если g (x) аналитична в x0 и f (u) аналитична в u0 = g (x0). Если f (x) аналитична в x0, то в некоторой окрестности x0 она дифференцируема любое число раз и

            f (k) (x) = k! an + k ( xx0 )n.

Тогда

            f (k) (x0) =k! ak

и

            f (x) = ( xx0 )n

(ряд Тейлора).

   Если функция f (x) в некоторой окрестности точки x0 дифференцируема любое число раз, а остаточный член в формуле Тейлора стремится к нулю при n → ∞, то степенной ряд имеет отличный от нуля радиус сходимости, а функция f (x) аналитична в x0.

   Эти соображения можно перенести на степенные ряды с большим числом переменных. Функция f (x, y), которую можно записать как сумму степенного ряда от двух переменных:

            f (x, y) = amn ( xx0 )m ( yy0 )n,

с областью сходимости, содержащей точки, отличные от (x0, y0), называется аналитической в точке (x0, y0). Точка относится к области сходимости, если степенной ряд в этой точке сходится. Для степенных рядов нескольких переменных имеют место теоремы, аналогичные теоремам для одного переменного.