Содержание

1.1. Действительные числа.

1.1.1. Система аксиом действительных чисел


    Аксиомы сложения

  1. Для любых чисел a, bR определено единственное число a + bR, называемое суммой чисел a и b.
  2. Для любых чисел a, bR имеет место соотношение a + b = b + a (коммутативность).
  3. Для любых чисел a, b, с ∈ R имеет место соотношение a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативность).
  4. Существует число 0 ∈ R такое, что a + 0 = a для всех aR. Число 0 носит название нуль.
  5. Для любого числа aR существует число b ∈ R такое, что a + b = 0.
  6. Аксиомы умножения

  7. Для любых чисел a, bR определено единственное число a · bR, называемое произведением чисел a и b.
  8. Для любых чисел a, bR имеет место соотношение a · b = b · a (коммутативность).
  9. Для любых чисел a, b, cR имеет место соотношение a · (b · c) = (a · b) · c (ассоциативность).
  10. Существует число 1 ∈ R такое, что 1 · a = a для всех aR. Число 1 носит название единица.
  11. Для любого числа aR, a ≠ 0 существует число bR такое, что a · b = 1.
  12. Для любых чисел a, b, cR имеет место соотношение a · (b + c) = (a · b) + (a · c) (дистрибутивность).
  13. Аксиомы порядка

  14. Для любых чисел a, bR имеет место одно и только одно из следующих соотношений: a < b, a =b, a > b.
  15. Для любых чисел a, b, cR таких, что a < b и b < c, справедливо соотношение a < c (транзитивность).
  16. Для любых чисел a, b, cR таких, что a < b, справедливо соотношение a + c < b + c.
  17. Для любых чисел a, b, cR таких, что a < b и c > 0, справедливо соотношение a · c < b · c.

   Если a < b, то говорят, что a меньше b (b больше a); в этом случае пишут также b > a. Если a < b или a = b, то пишут ab. Действительные числа, удовлетворяющие неравенству a > О, называются положительными; действительные числа, удовлетворяющие неравенству a < 0, называются отрицательными.

1.1.2. Натуральные, целые и рациональные числа


   Натуральные числа получаются путем последовательного прибавления 1, начиная с 1. Множество натуральных чисел NR обладает следующими свойствами:

  1. 1 ∈ N;
  2. Из nN следует n + 1 ∈ N;
  3. Если nN, то n – 1 ∈ N тогда и только тогда, когда n > 1;
  4. Если M — подмножество N со свойствами: а) 1 ∈ M; б) Из nM следует n + 1 ∈ M, то M = N.

    Сумма и произведение натуральных чисел суть натуральные числа. Однако если nm, то nmN. Следующее определение приводит к такому расширению области натуральных чисел, в котором операция вычитание выполнима неограниченно.

    Действительно число g называют целым числом, если существуют такие натуральные числа n и m, что g = nm.

    Действительное число a называется рациональным, если существуют такие целые числа g1 и g2 (g2 ≠ 0), что a = g1/g2. В противном случае число называется иррациональным.

    Числа g1 и g2 не определены однозначно числом a: числитель и знаменатель дроби могут быть домножены на одно и то же целое число p (p ≠ 0): . Множество рациональных чисел обозначается Q.

    Каждое действительное число может быть записано в виде десятичной дроби. При этом рациональным числам и только им соответствуют бесконечные периодические десятичные дроби. Однако например разложение в десятичную дробь действительного числа , т. е. такого однозначно определенного положительного действительного числа, квадрат которого равен 2, не является периодическим. Таким образом — иррациональное число.

1.1.3. Абсолютная величина числа


    Число |a|, aR, удовлетворяющее соотношению

              

называется абсолютной величиной числа a.

    Для любых a, bR:

  1. |a| ≥ 0, | – a| = |a|, a ≤ |a|;
  2. если |a| = 0, то a = 0;
  3. |a · b| = |a| · |b|, (b ≠ 0);
  4. |a + b| ≤ |a| + |b| (неравенство треугольника);
  5. ||a| – |b|| ≤ |ab|.

1.1.4. Элементарные неравенства


   Для действительных чисел ai, bi (i = 1, …, n)имеют место:

   Обобщенное неравенство треугольника

               .

   Неравенство Коши-Буняковского

               .

   Если aR, a > – 1 и nN, то (1 + a)n ≥ 1 + na (неравенство Бернулли).

   Если aR, 0 ≤ a ≤ 1 и nN, то (1 + a)n ≤ 1 + (2n – 1)a.

   Если nN и n ≥ 6, то (n/3)n < n! < (n/2)n.

   Пусть a1, …, an — действительные числа. Тогда:

   An = (a1 + a2 + … + an)/n   называется средним арифметическим,

   Gn = средним геометрическим,

   Mn = средним гармоническим чисел a1, …, an.

   Если ai > 0 (i = 1, …, n), то MnGnAn.


Содержание

1.2. Точечные множества в Rn.

   Множество М называется конечным, если оно либо пусто, либо найдется натуральное число n такое, что М может быть взаимно однозначно отображено на подмножество NnN: Nn = {x| xN, xn} (т. е. может быть занумеровано не более чем n числами). В противном случае множество М называется бесконечным. Бесконечное множество М называется счетным, если существует взаимнооднозначное отображение множества М на N. Конечное или бесконечное множество М называется не более чем счетным. В противном случае М называется несчетным множеством.

   Множество точек из Rn называется точечным множеством. При n = 1, т. е. для случая числовой прямой R, точечные множества называются так же числовыми множествами.

   Числовое множество М назвается ограниченным сверху, если существует СR такое, что xС для всех xМ. Число С называется верхней границей множества М. При этом говорят, что число С ограничивает М сверху; М называется ограниченным снизу, если существует число С ' ∈ R такое, что С ' ≤ x для всех xМ. При этом говорят, что число С ' ограничивает М снизу (С ' — нижняя граница М). Множество М называется ограниченным, если оно ограниченно сверху и снизу.

   Число G называется верхней гранью (точной верхней гранью) числового множества М, если G есть верхняя граница и для любого действительного

ε > 0 существует такое x' ∈ М, что G – ε < x'.

   Число g называется нижней гранью (точной нижней гранью) числового множества М, если g есть верхняя граница и для любого действительного

ε > 0 существует такое x' ∈ М, что x' < g + ε.

   Верхняя и нижняя грани множества М обозначаются соответственно

              

   Таким образом, для ограниченного сверху (снизу) множества М  sup М (inf М) является наименьшим (наибольшим) числом, ограничивающим М сверху (снизу). Если sup ММ (inf ММ), то это число называется максимальным (минимальным) элементом множества М и обозначается

              

   Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет, и при том только одну, верхнюю (нижнюю) грань.

   Пусть a, bR, a < b. Тогда множество (a, b) = {x | xR, a < x < b} называют интервалом, множество [a, b] = {x | xR, axb} — отрезком, а множества [a, b) = {x | xR, a ≤ x < b} и (a, b] = {x | xR, a < xb} — полуинтервалами; в случае когда принадлежность концов несущественна, часто используется термин промежуток. a, b — концы промежутка, число (ba) — длина промежутка. Рассматриваются также неограниченные интервалы:

               (a, + ∞) = {x | xR, a < x}, [a, + ∞) = {x | xR, ax},

               (– ∞, a) = {x | xR, x < a}, (– ∞, a] = {x | xR, xa}.

   Пусть P (x1, …, xn) и Q (y1, …, yn) — две точки пространства Rn; тогда число

              

называется расстоянием между точками P и Q.

   Пусть ε > 0, и пусть P точка пространства Rn. Тогда множество

               Uε(P0) = {P | d (P, P0) < ε}

называется ε-окрестностью точки P0. ε-окрестность точки P0 состоит из всех внутренних точек n-мерного шара с радиусом ε и с центром в точке P0. Иными словами ε-окрестность точки P0 есть множество точек пространства Rn, расстояние которых до точки P0 меньше ε. В случае n = 1 ε-окрест-ность точки P(х) есть интервал (х – ε, х + ε). Множество U(P0) ⊆ Rn назывется окрестностью P0, если оно содержит какую-нибудь ε-окрестность точки P0.

   Множество MRn называется ограниченным, если оно может быть заключено в n-мерный шар конечного радиуса.

   Точка QRn называется предельной точкой множества MRn, если в каждой ε-окрестности точки Q найдется отличная от нее точка из M. Точка множества M, не являющаяся предельной для M, называется изолированной.

   Если Q — предельная точка множества M, то в каждой ε-окрестности точки Q лежит бесконечно много точек из M. Предельная точка множества M может не принадлежать этому множеству.

   Теорема Больцано – Вейерштрасса. Любое бесконечное ограниченное множество в Rn имеет по крайней мере хотя бы одну предельную точку.

   Пусть M — множество из Rn. Множество точек Rn, не принадлежащих M, называется дополнением M.

   Пусть M ' — множество всех предельных точек множества M. M ' называется производным множеством множества M. Множество = MM ' называется замыканием M.

   Множество MRn называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Множество MRn называется открытым, если для каждой точки PM существует ε-окрестность Uε(P) такая, что Uε(P) ⊆ M. Пустое множество замкнуто и открыто одновременно.

  • Множество MRn замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение открыто.
  • Пересечение произвольного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.
  • Объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.
  • Пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.
  • Объединение произвольного числа открытых множеств есть открытое множество.
  •    Точка P множества MRn называется внутренней точкой множества M, если существует ε-окрестность Uε(P) такая, что Uε(P) ⊆ M. Точка PRn называется внешней точкой для множества M, если она является внутренней точкой его дополнения. Точка P называется граничной точкой множества M, если в любой ε-окрестности точки P есть как точки множества M, так и его дополнения. Множество всех граничных точек множества M называется границей M.

       Множество MRn называется связным, если любые две его точки можно соединить ломаной (или кусочно-гладкой кривой), все точки которой принадлежат этому множеству.

       Если MRn открытое связное множество, то любые две точки из M можно соединить кривой, полностью расположенной в M.

       Открытое связное точечное множество называют областью. Область G называется односвязной, если ее граница — связное множество. В противном случае G называется многосвязной областью. Объединение области G и ее границы называется замкнутой областью.

       Множество MRn называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками P, QM ему принадлежат все точки соединяющего их отрезка.


    Содержание

    1.3. Последовательности.

    1.3.1. Числовые последовательности


       Однозначное отображение множества натуральных чисел во множество действительных чисел R называется числовой последовательностью или, короче, последовательностью φ(n) = an; пишут: φ = {an}. Последовательность {an} называется ограниченной, если существует такое число КR, что   |an| ≤ К для всех nN.

        Число a называется пределом последовательности {an}, если для любого ε > 0 найдется такое N, что для всех n ≥ N выполняется неравенство | an – a| < ε. Если последовательность {an} имеет предел a, то говорят, что последовательность {an} сходится к пределу a. При этом пишут: an = a или an → a. Если последовательность сходится к a, то вне любой ε-окрестности a лежит лишь конечное число членов этой последовательности.

       Последовательность {an} называется возрастающей (неубывающей), если an + 1 ≥ an для всех nN. Последовательность {an} называется строго возрастающей, если an + 1 > an для всех nN. Последовательность {an} называется убывающей (невозрастающей), если an + 1 ≤ an для всех nN. Последовательность {an} называется строго убывающей, если an + 1 < an для всех nN. Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными последовательностями.

      Для числовых последовательностей справедливы следующие теоремы:

    1. Любая сходящаяся последовательность ограничена.
    2. Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена. Если возрастающая (убывающая) последовательность сходится, то ее предел совпадает с верхней (нижней) гранью множества ее значений.
    3. Критерий сходимости Коши. Последовательность {an} сходится тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует такое NN, что для всех nN и mN имеет место неравенство |anam| < ε.
    4. Пусть последовательности {an} и {bn} таковы, что an = a,bn = b. Тогда (anbn) = ab и для любых α, β ∈ R выполняется соотношениеan + βbn) = αa + βb.
    5. Если, кроме того, b ≠ 0, то, начиная с некоторого номера, все bn ≠ 0 и .
    6. Если {an} сходится к a, то {|an|} сходится к |a|.
    7. Пусть an = a > 0. Тогда, начиная с некоторого номера, все an > 0 и .
    8. Из an = a следует, что = а.
    9. Если последовательность {an} ограничена, а последовательность {bn} сходится к нулю, то последовательность {anbn} также сходится к нулю.
    10. Если для членов последовательности {an} имеет место неравенство AanB и существует an = a, то AaB.
    11. Если все члены последовательности {an} попарно различны, то an = a существует тогда и только тогда, когда множество значений {an | n ∈ N} ограничено и a является его единственной предельной точкой.

       Пусть {an} — заданная последовательность, и пусть {nk} — строго возрастающая последовательность (kN, nk N). Последовательность {ank} называется подпоследовательностью последовательности {an}.

       Если последовательность {an} имеет определенный конечный предел a или ее предел равен ∞, то такой же предел имеет и любая подпоследовательность {ank}.

       Если последовательность {an} не имеет определенного предела (конечного или бесконечного), то это не означает, что и подпоследовательность {ank} не имеет предела (конечного или бесконечного). Если подпоследовательность {ank} имеет предел (конечный или бесконечный), то его называют частичным пределом для последовательности {an}.

       Из любой ограниченной последовательности {an} всегда можно извлечь такую подпоследовательность {ank}, которая сходилась бы к конечному пределу ( теорема Больцано – ВейерштрассаЛюбое бесконечное ограниченное множество в Rn имеет по крайней мере хотя бы одну предельную точку.).

       Для любой последовательности {an} независимо от того ограничена она или нет, существуют частичные пределы. Наибольший и наименьший из этих частичных пределов всегда существуют и обозначаются соответственно an (верхний предел последовательности {an}) и an (нижний предел последовательности {an}). Равенство этих пределов есть условие необходимое и достаточное для существования предела последовательности {an}.

    1.3.2. Последовательности точек


       Однозначное отображение φ множества N в пространство Rn называется последовательностью точек из Rn:

                   φ (k) = Pk() ∈ Rn;

    пишут φ = {Pk}.

       Последовательность точек {Pk} называется ограниченной, если множество ее значений {Pk|kN} ⊂ Rn ограничено. Точка P0() называется пределом последовательности {Pk}, если d(Pk, P0) = 0, т. е. если расстояния от точек Pk до P0 образуют сходящуюся к нулю числовую последовательность. Если последовательность {Pk} имеет пределом P0, то говорят, что она сходится к пределу P0. При этом пишут: Pk = P0.

       Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

       Если последовательность сходится к P0, то вне любой ε-окрестности точки P0 лежит лишь конечное число членов данной последовательности.

       Последовательность точек {Pk()} сходится к P0() тогда и только тогда, когда сходятся последовательности соответствующих координат, т. е. когда для s = 1, 2, …, n.

       Так как сходимость последовательностей точек из Rn может быть сведена к сходимости числовых последовательностей, то большинство теорем о числовых последовательностях переносится на последовательность точек. В частности:

    1. Всякая сходящаяся последовательность точек ограничена.
    2. Критерий сходимости Коши: последовательность точек {Pk} сходится тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдется такое NN, что для любых k, lN справедливо неравенство d(Pk, Pl) < ε.



    Содержание

    1.4. Функции действительного переменного.

    1.4.1. Функция одного действительного переменного


       1.4.1.1. Определение, графическое изображение, ограниченность.

       Пусть множества A и B принадлежат R. Однозначное отображение f множестваA в B называется действительной функцией одного действительного переменного. Множество A называется областью определения функции f и обозначается D( f ); множество B называется множеством значений f и обозначается W( f ). Элемент yW( f ), который ставится в соответствие элементу xD( f ), обозначается f (x) и называется значением функции f в точке x.

       Функция f полностью определена, если известна область ее определения и для каждого значения xD( f ) известно значение функции f (x), т. е. известно правило по которому находится это значение. Правило установления соответствия xf (x) часто может быть выражено в форме аналитической зависимости.

       Пусть x, y — координаты точки P в декартовой системе координат. Множество {P(x, f (x)) | xD( f )} ⊂ R2 называется графиком функции f. При этом координата x называется абсциссой или аргументом, координата y = f (x) — ординатой или значением функции, а уравнение y = f (x) — функциональной зависимостью.

       Функция f не обязательно должна быть задана явно уравнением y = f (x). Она может быть определена также неявно, уравнением F(x, y) = 0.

       Сумма, разность, произведение и частное функций f и g определяются следующим образом:

                   ( f ± g)(x) = f (x) ± g (x), D( f ± g) = D( f ) ∩ D(g),

                   (f · g)(x) = f (x) · g (x), D(f · g) = D( f ) ∩ D(g),

                  

       Если f — взаимно однозначная, то обратное к f отображение g также однозначно, т. е. тоже является функцией.

       Обратное отображение g, соответствующее взаимно однозначному отображению f такому, что D ( f ) ⊆ R, W( f ) ⊆ R, называется обратной функцией по отношению к функции f.

       D(g) = W( f ), W(g) = D( f ), f [g(x)] = x при xD(g), g[ f (x)] = x при xD( f ), а функциональная зависимость y = f (x) эквивалентна функциональной зависимости x = g(y).

       Для того чтобы из функции y = f (x) получить обратную функцию g, необходимо разрешить уравнение y = f (x) относительно x и поменять местами x и y. При этом графиком обратной функции g является график функции f, отраженный зеркально относительно прямой y = x.

       Если f и g — функции одного переменного, то функция F, определенная соотношением y = F(x) = g[ f (x)], с областью определения D(F) = {xD( f ) | f (x) ∈ D(g)}, называется сложной функцией или суперпозицией функций f и g и обозначается g f .

       Функция f называется ограниченной на множестве ED( f ), если существует такое число A, что | f (x)| ≤ A для всех xE. Функция f называется ограниченной сверху (снизу) на E, если множество значений f при xE ограничено сверху (снизу).

       Верхняя (нижняя) грань множества M значений функции f на E называется верхней (нижней) гранью функции f и обозначается sup f (x) (inf f (x)), x ∈ E.

       Если sup f (inf f ) на E принадлежит к соответствующему множеству значений М, то он называется наибольшим (наименьшим) значением f на E и обозначается max f (x) (min f (x)), xE. При этом говорят, что функция f на E достигает своего максимального (минимального) значения.

       Функция f (x) = , a0 ≠ 0 , называется целой рациональной функцией или многочленом n-ой степени. Многочлен нулевой степени называется константой. Функция называется (дробной) рациональной функцией, если она называется частным от деления двух многочленов. Рациональная функция называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе.

       1.4.1.2. Предел функции одного переменного.

       Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0, за исключением, может быть, самой точки x0. Говорят, что функция f имеет в точке x0 предел, равный A, и обозначают: f (x) = A, для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < | xx0 | < δ, выполняется соотношение | f (x) – A | < ε.

       Другими словами, f имеет в точке x0 предел, равный A, если для каждой ε-окрестности точки A существует δ-окрестность точки x0 такая, что все точки δ-окрестности, за исключением, быть может, точки x0, отображаются функцией f в ε-окрестность точки A.

       Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0, за исключением, может быть, самой точки x0. Функция f имеет в точке x0 предел А тогда и только тогда, когда для любой числовой последовательности {xn} такой, что

                   xnD ( f ), xnx0 и xn = x0,

    выполняется равенство

                   f (xn) = A.

       Критерий Коши. Пусть функция f определена в окрестности x0, за исключением, быть может, самой точки x0. Функция f имеет предел в точке x0 тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех x1, x2, удовлетворяющих условию 0 < | x1x0 | < δ, 0 < | x2x0 | < δ, имеет место неравенство | f (x1) – f (x2) | < ε.

       Функция f имеет в точке x0 предел справа (слева), равный A и обозначаемый

                   f (x0 + 0) = f (x) = A      ( f (x0 – 0) = f (x) = A )

    если для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для всех x из интервала (x0, x0 + δ) ((x0 – δ, x0)) имеет место неравенство | f (x) – A| < ε.

       Функция f имеет в точке x0 предел тогда и только тогда, когда в точке x0 существуют пределы этой функции как справа, так и слева и они равны.

       Пусть область определения функции не ограничена сверху (снизу); тогда f обладает при х → + ∞ (x → – ∞ ) пределом, равным A, если для любого ε > 0 существует такое x1, что для всех x > x1 (x < x1) имеет место неравенство | f (x) – A| < ε.

       Обозначение:

                   f (x) = A       ( f (x) = A).

       Основные теоремы о пределах функций:

       Если для одного из пяти случаев хx0, хx0 ± 0, х → ± ∞  существуют   lim f1(x) = A1, lim f2(x) = A2, то:

    1. lim (с1 f1(x) + с2 f2(x)) = с1A1 + с2A2;
    2. lim f1(x) f2(x) = A1A2;
    3. lim f1(x)/f2(x) = A1/A2, если A2 ≠ 0.

       1.4.1.3. Вычисление пределов.

       Для вычисления пределов функций пользуются следующими приемами:

    1. Определение предела посредством преобразования функциональной зависимости к удобному виду.
    2. Правило Лопиталя. Если при хx0 (соответственно х → ± ∞) в функции F(x) возникает неопределенность или , то для вычисления  F (x) (соответственно F(x)) можно зачастую успешно применять следующие правила:.

    3. а) Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности U(x0) точки x0, за исключением, быть может, самой точки x0. Пусть, далее f (x) = g(x) и g'(x) ≠ 0 при xU(x0)\{x0}. Если при этом = A, то = A. Соответствующее утверждение имеет место и в том случае, когда f (x) = g (x) = ∞, а также при xx0 ± 0.

      б) Пусть функции f и g дифференцируемы при x > a (a > 0) и, кроме того f (x) = g (x) = 0 и g' (x) ≠ 0. Тогда, если   = A, то   = A.

    4. Если f непрерывна в точке x0, то f (x) = f (x0).
    5. Использование разложения функции в ряд Тейлора.

       1.4.1.4. Непрерывные функции одного переменного.

       Функция f называется непрерывной в точке x0D ( f ), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех xD ( f ) и таких, что | x – x0| < δ, имеет место неравенство | f (x) – f (x0)| < ε.

       Между непрерывностью функции f в точке x0 и существованием предела f в x0 имеется следующая связь:

      • Функция f , определенная в некоторой окрестности x0, непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда существует предел функции f в точке x0, равный f (x0), т.е. когда f (x) = f (x0).
      • Функция f непрерывна в точке x0D ( f ) тогда и только тогда, когда для любой числовой последовательности {xn} такой, что xnD ( f ) и  xn = x0, имеет место равенство f (xn) = f (x0).
      • Функция f называется непрерывной на множестве ED ( f ), если f непрерывна в каждой точке x0E.
      • Если f не является непрерывной в точке x0 (имеет разрыв в точке x0), то x0 называется точкой разрыва функции f.

       Основные свойства непрерывных функций.

       Сумма, разность и произведение непрерывных функций также являются непрерывными функциями.

       Если f непрерывна и не равнв нулю в точке x0, то 1/f также является непрерывной в точке x0.

       Многочлен непрерывен во всех точках множества R.

       Дробно-рациональная функция непрерывна во всех точках, в которых ее знаменатель отличен от нуля.

       Пусть функция f непрерывна и положительна (отрицательна) в точке x0. Тогда существует окрестность U(x0) точки такая, что для всех xU(x0) ∩ D ( f ) имеет место неравенство f (x) > 0 ( f (x) < 0).

       Любая функция, представимая в виде степенного ряда, непрерывна в точках, лежащих внутри интервала сходимости этого ряда.

       Если функция f непрерывна в точке x0, а функция g – в точке f (x0), то сложная функция g f непрерывна в точке x0.

       Функция f называется непрерывной справа (слева) в точке x0D ( f ), если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех xD ( f ), удовлетворяющих условию 0 ≤ xx0 < δ (0 ≤ x0 – х < δ), имеет место неравенство | f (x) – f (x0) | < ε.

       Функция f непрерывна в x0 тогда и только тогда, когда она непрерывна в x0 как справа, так и слева.

       1.4.1.5. Точки разрыва и порядок величины функций.

       1. Устранимый разрыв. Пусть функция f определена в окрестности точки x0 и не является непрерывной в этой точке. Функция f имеет в точке x0 устранимый разрыв, если существует f (x) = A. При этом функция

                  

    непрерывна в точке x0.

       2. Конечный разрыв (скачок функции). Пусть для функции f существуют = A, = B, причем AB. Тогда говорят, что функция f имеет в точке разрыва x0 скачок, равный по величине | BA |.

       3. Бесконечный разрыв. Если для функции f имеет место соотношение | f (x)| = ∞, то точку x0 называют точкой бесконечного разрыва функции f.

       Точки устранимого и конечного разрывов называются также точками разрыва 1-го рода. Точками разрыва 2-го рода являются точки бесконечного разрыва и те точки, в которых не существует конечного предела либо справа, либо слева.

       Функция f называется кусочно-непрерывной на отрезке I = [a, b] ⊂ R, если f непрерывна во всех точках xI, за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода.

       4. Порядок величины функций. Следующие определения дают возможность сравнивать две функции.

       Если для функции f, определенной в окрестности точки x0, имеет место равенство

                   = c,

    где c > 0 и sR\{0}, то точка x0 называется нулем функции f порядка s в случае s > 0 и точкой бесконечного разрыва функции f порядка s (полюсом порядка s) в случае s < 0.

       Если |xsf (x)| = c, где c > 0, sR\{0}, то говорят, что функция f (x) является бесконечно малой порядка s при x → ∞, если s > 0 (соответственно бесконечно большой порядка s при x → ∞, если s < 0).

       1.4.1.6. Теоремы о функциях непрерывных на отрезках.

       Всякая функция, непрерывная на отрезке I = [a, b], оганичена на отрезке I.

       Теорема Вейерштрасса. Для каждой функции, непрерывной на I = [a, b], существуют m = f (x), M = f (x).

       Теорема Коши о прохождении через нуль. Если f непрерывна на [a, b] и f (a) > 0, f (b) < 0, то существует точка x ∈ [a, b], в которой f обращается в нуль (аналогичное утверждение имеет место в случае f (a) < 0, f (b) > 0).

       Теорема о промежуточном значении. Пусть f непрерывна на [a, b], и пусть m = f (x) < f (x) = M и α ∈ (m, M). Тогда существует точка x0 ∈ (a, b), в которой f (x0) = α.

       Функция f называется убывающей (возрастающей) на [a, b] ⊆ D( f ), если для любых x1, x2 ∈ [a, b] таких, что x1 < x2, имеет место неравенство f (x1) ≥ f (x2) ( f (x1) ≤ f (x2)). Функция f называется строго убывающей (строго возрастающей) на [a, b], если для любых x1, x2 ∈ [a, b] таких, что x1 < x2, имеет место неравенство f (x1) > f (x2) (f (x1) < f (x2)).

       Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

       Свойства монотонных функций.

    1. Возрастающая (убывающая) на [a, b] функция f непрерывна на [a, b] тогда и только тогда, когда она принимает каждое значение из промежутка [ f (a), f (b)] ([ f (b), f (a)]).
    2. Если f монотонна на [a, b], то она имеет на [a, b] не более чем счетное множество точек разрыва 1-го рода.
    3. Пусть f непрерывна и строго возрастает (убывает) на [a, b], тогда на множестве [f (a), f (b)] ([ f (b), f (a)]) определена непрерывная строго возрастающая (убывающая) функция g, обратная для f.

       Функция f называется равномерно непрерывной на MD ( f ), если для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для любых x1, x2M таких, что | x1 – x2 | < δ, выполняется неравенство | f (x1) – f (x2)| < ε.

       Если f равномерно непрерывна на M, то f непрерывна на M. Если множество M замкнуто, то верно и обратное: всякая непрерывная на [a, b] функция равномерно непрерывна на [a, b].

       1.4.1.7. Специальные виды функций

    1. Периодические функции. Функция f называется периодической, если найдется такое Т ≠ 0, что из xD( f ) следует x + ТD( f ) и f (x + Т) = f (x). Наименьшее положительное Т, удовлетворяющее указанным условиям называется периодом функции f.

    2. Функции ограниченной вариации. Пусть Z — разбиение отрезка [a, b] с точками разбиения a = x0 < x1 < … < xn - 1 < xn = b. Если f — такая функция, что [a, b] ⊂ D( f ), то число V ( f, Z ) = называется вариацией функции f относительно разбиения Z. Если существует верхняя грань V ( f, [a, b]) = V ( f, Z ) по всем разбиениям отрезка [a, b], то она называется полной вариацией функции f на отрезке [a, b], при этом f называется функцией ограниченной вариации.

      1) Всякая монотонная на [a, b] функция является функцией ограниченной вариации.

      2) Всякая дифференцируемая на [a, b] функция, производная которой ограничена на [a, b], является функцией ограниченной вариации.

      3) Функция, определенная на [a, b], является функцией ограничен-ной вариации тогда и только тогда, когда она представима в виде разности двух возрастающих функций.

      4) Всякая функция ограниченной вариации интегрируема по Риману.

    3. Полунепрерывные функции. Функция f, определенная в некоторой окрестности точки x0, называется полунепрерывной снизу (сверху) в x0, если для любой последовательности {xn} такой, что xn = x0,

                     .

      Функция f называется полунепрерывной в точке x0, если f полунепрерына в точке x0 снизу или сверху.


    1.4.2. Функции нескольких действительных переменных


       1.4.2.1. Определение, графическое изображение, ограниченность

       Определение одного действительного переменного будет теперь обобщено на функции n действительных переменных. Область определения такой функции — подмножество в Rn. Точку, которой в декартовой системе координат соответствует последовательность (x1, …, xn) обозначают P(x1, …, xn) или, кратко, P(xi).

       Пусть ARn и BR. Однозначное отображение f множества A во множество B называется (действительной) функцией n действительных переменных. Множество A называется областью определения f и обозначается D( f ); множество B называется областью определения f и обозначается W ( f ). Образ yW ( f ) элемента (x1, …, xn) = (xi) = P(xi) ∈ D( f ) обозначается f (x1, …, xn), или f (xi), или f (P). Число f (x1, …, xn) называется значением функции в точке (x1, …, xn).

       Каждой точке (x1, …, xn) ∈ D( f ) ⊂ Rn соответствует только одна точка y = f (x1, …, xn). Уравнение y = f (x1, …, xn) называется функциональной зависимостью. Функция f не обязательно должна быть задана явно — уравнением y = f (x1, …, xn), она может быть задана также неявно — уравнением F(x1, …, xn; y) = 0.

       Графическое изображение функций двух переменных. Для функций двух переменных x1, x2, как и для функций одного переменного, возможно геометрическое представление (в декартовых координатах x1, x2, y пространства R3). Множество точек

                   {P(x1, x2, f (x1, x2))|( x1, x2) ∈ D( f )} ⊂ R3

    называется графиком функции f. Таким образом для построения графика функции f значение функции f (x1, x2) откладывается на прямой, проходящей через точку (x1, x2) ∈ D( f ), в направлении оси y. Для большинства рассматриваемых на практике функций точки P образуют поверхность в пространстве R3, которая и является графиком функции f. Вспомогательным средством при построении графика или выявлении основных свойств функции является построение таблицы значений, в которой для конкретных точек области определения указаны соответствующие значения функции.

       Линии уровня, поверхности уровня. Если cW( f ), то точечное множество {(x1, …, xn)|f (x1, …, xn) = c} ⊂ Rn называется поверхностью уровня функции f. Таким образом, на поверхности уровня функции f имеет постоянное значение. В случае n = 2 это точечное множество называется линией уровня. Линия уровня — это спроектированная на плоскость x1x2 кривая пересечения графика функции f с плоскостью, параллельной плоскости x1x2.

       Функция f, где D( f ) ∈ Rn, называется ограниченной сверху (снизу) на ED( f ), если множество { f (x1, …, xn) | (x1, …, xn) ∈ E } ограничено сверху (снизу) в R. Функция f называется ограниченной на E, если f ограничена на E как сверху, так и снизу.

       Пусть функция f ограничена на ED( f ) ⊂ Rn сверху (снизу). Верхняя (нижняя) грань множества M = { f (xi) | (xi) ∈ E } значений функции f на E обозначается sup(xi) ∈ E f (xi) (inf(xi) ∈ E f (xi)).

       Если sup f (inf f ) на множестве E принадлежит множеству M, то ее называют наибольшим (наименьшим) значением функции f на E и обозначают через max(xi) ∈ E f (xi) (min(xi) ∈ E f (xi)).

       Функция f такая, что D( f ) ⊂ Rn, называется однородной степени k, если для любого действительного числа λ > 0 имеет место равенство f (λx1, …, λxn) = λk f (x1, …, xn).

       Теорема Эйлера. Если однородная функция f с показателем однородности равным k, непрерывно дифференцируема, то имеет место соотношение

                  

       1.4.2.2. Пределы функций многих переменных

       Определения предела теперь обобщаются следующим образом. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки P0D( f ) ⊂ Rn за исключением, быть может, точки P0. Функция f имеет в P0 предел, равный A и обозначаемый f (P) = A, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех точек P(xi), удовлетворяющих условию 0 < d(P, P0) < δ, имеет место неравенство | f (P) – A | < ε.

       Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки P0, за исключением, быть может, самой точки P0. Функция f имеет в точке P0 предел, равный f, тогда и только тогда, когда для любой последовательности точек {Pm} такой, что PmD( f ), PmP0 и Pm = P0, имеет место равенство f (Pm) = A.

       Пусть область определения функции f не ограничена в Rn. Функция f имеет при P → ∞ предел, равный A и обозначаемый f (Pm) = A, если для любого ε > 0 существует число b > 0 такое, что для всех PD( f ), удовлетворяющих условию d(P,0) > b, имеет место неравенство | f (P) – A | < ε.

       Теоремы о пределах для функций одного переменного легко обобщаются на функции многих переменных.

       1.4.2.3. Непрерывные функции многих переменных

       Функция f называется непрерывной в точке P0D ( f ) ⊆ Rn, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех PD( f ), удовлетворяющих условию d(P, P0) < δ, имеет место неравенство | f (P) – f (P0) | < ε.

       Таким образом, если f непрерывна в точке P0, то для любой ε-окрестности f (P0) существует δ-окрестность Uδ(P0) точки P0 такая, что для всех P ∈ Uδ (P0) значения функции f (P) лежат в ε-окрестности f (P0).

       Функция f, определенная в окрестности P0, непрерывна в P0 тогда и толь тогда, когда f имеет в P0 предел, равный значению функции в этой точке, т. е. когда f (P) = f (P0).

       Функция f, определенная в окрестности точки P0, непрерывна в P0 тогда и толь тогда, когда для всех последовательностей точек {Pi}, для которых Pi ∈ D ( f ) и Pi = P0, выполняется равенство f (Pi) = f (P0).

       Непрерывность функции означает, следовательно, что математические операции lim и f можно переставлять: если найти вначале значения функции f (Pi), а затем предел f (Pi), то получим значение функции в точке предела Pi = P0.

       Определения и теоремы для непрерывных функций одного переменного можно перенести на функции многих переменных.

       Функция f называется непрерывной на множестве ERn, если она непрерывна во всех точках множества E.

       Функция f называется равномерно непрерывной на множестве E, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любых P1, P2E, удовлетворяющих условию d (P1, P2) < δ, выполнено неравенство | f (P1) – f (P2) | < ε.

       Пусть заданы n функций φ1, …, φn таких, что Di) ⊂ Rk, Di) ∩ Dj) ≠ ∅ (i, j = 1, …, n), и функция f такая, что (φ1 (t1, …, tk), …, φn (t1, …, tk)) ∈ D ( f ) ⊂ Rn. Отображение F, которое каждому набору k чисел (t1, …, tk) ставит в соответствие F (t1, …, tk) = f1 (t1, …, tk), …, φn (t1, …, tk)], называется сложной функцией.

    1. Сумма, разность и произведение непрерывных функций являются непрерывными функциями. Частное непрерывных функций — непрерывная функция в точках, в которых знаменатель отличен от нуля.
    2. Если f непрерывна в точке P0 и f (P0) > 0 (f (P0) < 0), то существует окрестность U (P0) точки P0 такая, что для всех PU (P0) выполнено неравенство f (P) > 0 (f (P) < 0).
    3. Если f непрерывна на ограниченном замкнутом множестве E, то f ограниченна на E.
    4. Всякая непрерывная на ограниченном замкнутом множестве E функция равномерно непрерывна на E.
    5. Всякая непрерывная на ограниченном замкнутом множестве E функция достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.
    6. Теорема о промежуточном значении. Если f непрерывна в области E и f (P1) = a, f (P2) = b для P1, P2E, причем a < b, то для каждого y ∈ (a, b) найдется точка PE, в которой f (P) = y.
    7. Если f непрерывна на D ( f ) ⊂ Rn и функции φ1, …, φn непрерывны на Di) ⊂ Rn (i = 1, …, n), то сложная функция F, составленная из f и φ1, …, φn, непрерывна на D ( f ).

    Содержание

    1.5. Дифференцирование функций одного действительного переменного.

    1.5.1. Определение и геометрическая интерпретация первой производной


       Если f – функция одного переменного и x0 ∈ (a, b), то функция φ такая, что

                  

    называется разностным отношением функции f в точке x0.

       Геометрическая интерпретация. Пусть на графике функции f в координатной системе x, y фиксированная точка P0 (x0, y0) и подвижная точка P (x, y), и пусть секущая, проведенная через эти точки, образует угол β с положительным направлением оси x. Тогда

                   .

       Разностное отношение функции f в точке x0 равно, таким образом угловому коэффициенту секущей, проведенной через точки P и P0.

       Функция f называется дифференцируемой в точке x0 ∈ (a, b), если существует предел разностного отношения функции f в точке x0:

                  φ (x) = .

       Этот предел называется производной функции f в точке x0. Обозначение:

                  .

       Геометрическая интерпретация: Если на графике функции подвижная точка P (x, y) стремится к точке P0 (x0, y0), то изменяется также угловой коэффициент секущей. Если существует производная функции f в точке x0, то прямую, проходящую через точку P0 (x0, y0) и такую, что tg (α) = f '(x0), где α — угол наклона этой прямой, называют касательной к графику функции f в точке P0 (x0, y0). таким образом уравнение касательной есть yf (x0) = f '(x0)(xx0).

       Функция f называется дифференцируемой справа (слева) в точке x0, если существует предел справа (слева) φ (x) (φ (x)) разностного отношения в точке x0. Этот предел называется производной справа (слева) функции f в точке x0 и обозначается f '+(x0), f '(x0 + 0) (f '(x0), f '(x0 – 0)).

       Если существует f '(x0), то функция f дифференцируема справа и слева в точке x0 и f '+(x0) = f '(x0) = f '(x0). Обратно, если существуют односторонние производные f '+(x0),  f '(x0)  и  f '+(x0) = f '(x0) то существует также f '(x0) = f '+(x0) = f '(x0).

       Функция f называется дифференцируемой на множестве E, если она дифференцируема во всех точках x0E. Функция f называется дифференцируемой, если она дифференцируема на D ( f ). Если f дифференцируема, то функция f ', определенная соответствием xf '(x), называется производной функции f.

    1.5.2. Производные высших порядков


       Пусть производная f ' функции f дифференцируема в точке x0D ( f '). Тогда ( f '(x))|x = x0 называется второй производной функции f в точке x0. Обозначение:

                  f ''(x0) = f (2)(x0) = f (x0).

       Действуя подобным образом, определяют n-ю производную, или производную n-го порядка функции f в точке x0:

                   f (n)(x0) = ( f (n – 1)(x))|x = x0 =  f (x0).

       Если существует f (n)(x0), то функция f называется n раз дифференцируемой в точке x0. Имеет место следующее равенство:

                   (f (n)(x))(m)|x = x0 = f (n + m)(x0).

       Функция f называется n раз непрерывно дифференцируемой на множестве E, если она n раз дифференцируема в каждой точке xE и f (n) непрерывна на E.

    1.5.3. Свойства дифференцируемых функций


    1. Функция, дифференцируемая в точке x0, непрерывна в этой точке.
    2. Пусть функции f1 и f2 дифференцируемы в точке x0. Тогда функция c1 f1 + c2 f2, где c1, c2R, также дифференцируема в точке x0 и

                     (c1 f1 + c2 f2)'|x0 = c1 f '1 (x0) + c1 f '2 (x0).

      Произведение f1 f2 также дифференцируемо в точке x0 и имеет место следующее правило дифференцирования произведения:

                     (f1 f2)'|x0 = f '1 (x0) f2 (x0) + f1 (x0) f '2 (x0).

      Если f2 (x0) ≠ 0, частное f1 / f2 дифференцируемо в точке x0 и имеет место следующее правило дифференцирования дроби:

                    

    3. Пусть функции f и φ дифференцируемы соответственно в x0 и t0 и x0 = φ (t0). Тогда сложная функция f (φ (t0)) дифференцируема в точке t0 и обладает производной

                    ( f (φ))'|t = t0 = f ' [φ (t0)] · φ' (t0).

    4. Пусть функция f дифференцируема и строго монотонна на (a, b). Пусть также в точке x0 ∈ (a, b) производная f '(x0) ≠ 0. Тогда обратная функция g (y) дифференцируема в точке y0 = f (x0) и ее производная есть

                    (g (y))'|y = y0 =

    5. Если функции f1 и f2 n раз дифференцируемы в точке x0, то функция f1 f2 также n раз дифференцируема в точке x0 и имеет место формула Лейбница:

                    

      если считать, что fi (0) (x0) = fi (x0) (i=1,2).


       Для функций, дифференцируемых в интервале, имеют место следующие теоремы.

       Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

       Геометрический смысл. Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

       Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция f непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то найдется по крайней мере одна точка x0 ∈ (a, b), в которой

                  f (x0) =

       Геометрический смысл. Если для функции f выполняются условия теоремы Лагранжа, то к графику функции f можно провести по меньшей мере одну касательную, параллельную секущей, проведенной через точки (a, f (a)), (b, f (b)).

       Теорема Коши. Пусть функции f и g непрерывны на [a, b], дифференцируемы в (a, b), и пусть g '(x) ≠ 0 для всех x ∈ (a, b), Тогда существует по крайней мере одна точка x0 ∈ (a, b), в которой

                  

    1.5.4. Монотонность и выпуклость функций


       Функция f, дифференцируема на (a, b), возрастает (убывает) на (a, b) тогда и только тогда, когда f '(x) ≥ 0 (f '(x) ≤ 0) для всех x ∈ (a, b). Если при этом не существует интервала (α, β) ⊂ (a, b) такого, что f '(x) = 0 для всех x ∈ (α, β), то f строго возрастает (убывает).

       Дифференцируемая на (a, b) функция f называется выпуклой вниз, соответственно строго выпуклой вниз, на (a, b), если для любых x1, x2 ∈ (a, b) таких, что x1x2, f (x2) ≥  f (x1) + f ' (x1)(x2x1), соответственно f (x2) > f (x1) + f ' (x1)(x2x1).

       Дифференцируемая на (a, b) функция f называется выпуклой вверх (вогнутой), соответственно строго выпуклой вверх на (a, b), если для любых x1, x2 ∈ (a, b) таких, что x1x2, f (x2) ≤  f (x1) + f '(x1)( x2x1), соответственно f (x2) < f (x1) + f '(x1)(x2x1).

       Геометрическая интерпретация выпуклости функции. Из неравенств, указанных в определении выпуклости, следует, что график функции f, выпуклой вниз, нигде не лежит под касательной к нему. Если f строго выпукла вниз, то график f, за исключением точки касания, всегда лежит над касательной к нему. Соответствующие утверждения имеют место и для случая выпуклости вверх.


       Критерии выпуклости функции.

    1. Дифференцируемая на (a, b) функция f, выпукла вниз (вверх) на (a, b) тогда и только тогда, когда f 'возрастает (убывает) на (a, b). Функция f строго выпукла вниз (вверх) на (a, b) тогда и только тогда, когда f 'строго возрастает (убывает) на (a, b).
    2. Дважды дифференцируемая в (a, b) функция выпукла вниз (вверх) на (a, b) тогда и только тогда, когда для всех x ∈ (a, b) имеет место неравенство f '' (x) ≥ 0 (f '' (x) ≤ 0).


    1.5.5. Экстремумы и точки перегиба


       Пусть функция f определена на (a, b) и пусть x0 ∈ (a, b). Значение f (xi) называется локальным минимумом (максимумом) функции f на (a, b), если существует окрестность U(x0) ⊂ (a, b), и для всех xU(x0)\{x0} выполнено неравенство

                  f (x) > f (x0) (f (x) < f (x0)).

       Максимум или минимум функции f называется (локальным) экстремумом функции f на (a, b).

       Экстремумы функции f на (a, b) являются наибольшими или наименьшими значениями функции относительно некоторой окрестности. Они отличаются от наименьшего m = f (x) и наибольшего M = f (x) значений функции на всей области определения. Однако, если f выпукла вниз (вверх) на (a, b) и имеет минимум (максимум) в (a, b), то он совпадает с m (M). Наибольшее (наименьшее) значение функции f, дифференцируемой на [a, b], достигается либо в одной из точек локального максимума (минимума), либо на одном из концов отрезка [a, b]. Таким образом, если известны все локальные максимумы (минимумы) функции f на [a, b] и значения функции на концах отрезка, то перебором легко можно определить

                   f (x) ( f (x)).

       Необходимое условие существования экстремума. Если f (x0) является экстремумом дифференцируемой функции f , то f '(x0) = 0. Касательная к графику функции f, проходящая через точку (x0, f (x0)), параллельна оси x.

       Достаточное условие существования экстремума.

    1. Если f дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и f '(x0) = 0, а f ''(x0) > 0 (f ''(x0) < 0), то функция f имеет в точке x0 локальный минимум (максимум).
    2. Пусть fk раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Далее, пусть f (v) (x0) = 0 при v = 1, …, k – 1 и f (k)( x0) ≠ 0. Если k — четное, то f имеет в точке x0 при f (k)(x0) > 0 минимум и при f (k)(x0) < 0 максимум.

       Предположения о дифференцируемости функции f в необходимых (соответственно достаточных) условиях экстремума могут не выполняться, но тем не менее функция f может иметь экстремумы. Например, функция f (x) = | x | не дифференцируема в точке x0 = 0, однако в ней минимум. В подобных случаях нужно пытаться найти значения экстремумов непосредственно на основе определения. При этом важным вспомогательным средством являются соображения о монотонности вблизи исследуемых точек. Функция f (x) = | x |, является строго убывающей при x0 > 0 и строго возрастающей при x0 > 0. Следовательно f (0) = 0 является ее минимумом.

       Пусть функция f дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Функция f имеет в точке x0 точку перегиба тогда и только тогда, когда функция f ' имеет в точке x0 локальный экстремум.

       Геометрическая интерпретация. Если f имеет в точке x0 точку перегиба, то график функции f в точке (x0, f (x0)) «перегибается» через касательную к нему в этой точке, т. е. при x < x0 касательная лежит под графиком f, а при x > x0 — над графиком (или наоборот).

       Необходимое условие существования точки перегиба. Если функция f дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, имеет в x0 точку перегиба, то f ''(x0) = 0.

       Достаточное условие существования точки перегиба. Если f в некоторой окрестности точки x0k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечетно, k ≥ 3, и  f (v)(x0) = 0 при v = 2, 3, …, k – 1 и  f (k)(x0) ≠ 0, то функция f имеет в x0 точку перегиба.

    1.5.6. Элементарное исследование функции


       При помощи дифференциального исчисления во многих случаях можно получить представление о поведении графика функции, не заполняя подробных таблиц значений функции, которые в большинстве своем неудовлетворительно отражают важнейшие качественные свойства функции, такие, как точки разрыва, локальные экстремумы или нули функции. Исследование функции включает в себя приведенные ниже этапы.

    1. Определение нулей функции f (решение уравнения f (x) = 0), четности (нечетности) и периодичности.
    2. Определение интервалов непрерывности и дифференцируемости.
    3. Классификация точек разрыва функции и исследование ее поведения «на бесконечности».
    4. Определение локальных экстремумов и точек перегиба.
    5. Определение интервалов монотонности и выпуклости.
    6. Вычисление соответствующих значений функции.
    7. Выполнение эскиза графика функции.

    Содержание

    1.6. Дифференцирование функций многих переменных.

    1.6.1. Частные производные, геометрическая интерпретация


       Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки P0 Rn. Функция называется дифференцируемой по xk, если существует предел разностного отношения

                 

    этот предел называется частной производной функции f (по xk) в точке P0 и обозначается

                  или fxk' .

       Функция f называется дифференцируемой по каждому из переменных в ED ( f ), если для f на E существуют частные производные по каждому из переменных x1, …, xn. Функция называется непрерывно дифференцируемой по каждой переменной в точке PD ( f ), если частные производные ∂f / ∂xk (k = 1, …, n) непрерывны в P0.

       Частная производная функции f по xk в точке P0 равна обыкновенной производной функции действительного переменного xk, которая получается из f, если переменные xi для ik положить равными .

       При n > 1 из дифференцируемости f в точке P0 по каждому из переменных не следует непрерывность f в точке P0.

       Геометрическая интерпретация частной производной. Пусть f — функция двух переменных, дифференцируемая в точке P0 (x0, y0). Рассмотрим плоскость П, проходящую через точку P0 (x0, y0) параллельно плоскости xOz, т. е. плоскость y = y0. На основании определения fx'(x0, y0) есть число, равное tg φ, где φ — угол между касательной к кривой пересечения плоскости П и графика функции f с плоскостью xOy. Соответственно fy'(x0, y0) представляет собой тангенс угла наклона касательной к кривой пересечения плоскости x = x0 с графиком функции f.

       Производные высших порядков. Пусть функция f на открытом множестве ED ( f ) ⊂ Rn дифференцируема по xk. Тогда является функцией с областью определения D ( ) = E. Функция f называется в точке P0E дважды дифференцируемой (по xk, xi), если функция в точке P0 дифференцируема по xi. Для второй производной f по xk и xi используется обозначение

                

       Посредством полной индукции определяем производную r-го порядка:

                

       При определенных предположениях можно менять порядок вычисления частных производных функций.

       Пусть f непрерывна в некоторой U(P0) точки P0Rn. Если существуют частные производные в U(P0) и они непрерывны в точке P0, то существует частная производная в P0 и (P0) = (P0).

    1.6.2. Полный дифференциал

       Пусть область определения D ( f ) функции f содержит окрестность точки P0 , n ≥ 1. Функция f называется дифференцируемой в точке P0, если для любых P (x1, …, xn) из этой окрестности

                f (P) – f (P0) = (P0)(xk) + ρ(P0, P) R1(P),

    где ρ(P0, P) =   и   R1(P) = 0; линейная часть

                df (P) = (P0)(xk)

    приращения f (P) – f (P0) называется полным дифференциалом функции f в точке P0.

       График функции f, определяемой равенством

                f (P) = f (P0) + (P0)(xk), называется касательной плоскостью к графику функции f в точке P0.

       Если f дифференцируема в точке P0, то f непрерывна в P0 и дифференцируема по каждому из переменных x1, …, xn. Однако, если функция непрерывна и дифференцируема по каждому из переменных x1, …, xn в точке P0, она не обязательно дифференцируема в этой точке. Если же f непрерывно дифференцируема по каждому из переменных x1, …, xn в точке P0, то f дифференцируема в точке P0.

       Геометрическая интерпретация полного дифференциала функции двух переменных. Пусть P0 (x0, y0) — точка из области определения функции z = f (x, y). Если положить dx = xx0, dy = yy0, dz = zz0, то в случае дифференцируемости функции f в P0 получается формула разложения

                f (P) – f (P0) = df (P) + ρ(P0, P) R1(P),

    где

                 R1(P) = 0.

       Если отложить вертикально из P (x0 + dx, y0 + dy) (соответственно P0 (x0, y0)) значение функции f (P) (соответственно f (P0)), то получим соответствующие точки поверхности графика функции f. Если же в точке P взять приближенное значение f (P0) + df (P), то получим точку плоскости, касательной к графику функции в точке P0, лежащую над (или под) точкой P. Полный дифференциал df (P) является приращением значения функции, если поверхность графика f заменена касательной плоскостью к нему, проведенной в точке P0. Это приближение тем точнее, чем меньше ρ(P0, P).



    1.6.3. Теоремы о дифференцируемых функциях многих переменных


       Дифференцирование сложной функции. Пусть функция f дифференцируема в точке P0 , и пусть φ1, …, φn — функции одного переменного, дифференцируемые в точке t0 ∈ (a, b) и такие, что = φi (t0) (i = 1, 2, …, n). Тогда сложная функция, составленная из f и φ1, …, φn, дифференцируема в точке t0 и ее производная равна

                 

       Дифференцирование неявных функций. Если функция F(x, y) непрерывно дифференцируема в области ER2 и существует функция y = f (x), определенная в (a, b) и такая, что для всех x ∈ (a, b) уравнение F(x, f (x)) = 0 выполняется, то f дифференцируема в (a, b) и для каждого x ∈ (a, b) справедливо равенство

                 

       Если, кроме того, Fy'(x, f (x)) ≠ 0, то

                 

       Формула Тейлора функции двух переменных. Пусть функция f на множестве E = {(x, y) ∈ R2 | (xx0)2 + (yy0)2 < ∂, ∂ > 0} r + 1 раз непрерывно дифференцируема. Тогда для всех (x, y) ∈ E справедлива формула

                 

       При этом

                 

                 

                 ,

    где θ ∈ (0, 1). Rn (x, y) называется остаточным членом (в форме Лагранжа) формулы Тейлора для функции f.

       Если при (x, y) ∈ E имеет место равенство Rn (x, y) = 0, то можно использовать формулу Тейлора для того, чтобы в некоторой окрестности точки (x0, y0) приблизить функцию f многочленом n-й степени.

       Если f непрерывно дифференцируема в области ER2 и для всех (x, y) ∈ E выполнены соотношения fx'(x, y) = fy'(x, y) = 0, то f постоянна.

    1.6.4. Замена переменных в дифференциальных выражениях


       1. Если f есть функция одного переменного, заданная уравнением y = f (x), то при замене переменного x = φ (t) зачастую необходимо выразить производные (n = 1, 2, 3, …) через производные функций f φ и φ от t. Для первых двух производных по правилу дифференцирования сложной функции получаются следующие формулы (f и f φ сокращенно обозначены через y):

                 

       Если заменить зависимое переменное y на u посредством y = φ (u), то

                 

       При замене x и y на t и u посредством уравнений x = φ (t, u), y = ψ (t, u) справедливы формулы

                 

       2. Если функция f двух переменных задана уравнением ω = f (x, y), то при замене переменных x = φ (u, v), y = ψ (u, v) частные производные ∂ω / ∂x, ∂ω / ∂y и частные производные ∂ψ / ∂u, ∂ψ / ∂v связаны друг с соотношениями

                 

    откуда следует, что

                 

    где A, B, C и D суть функции от u и v.


    Содержание

    1.7. Интегральное исчисление функций одного переменного.

    1.7.1. Определенные интегралы


       Пусть функция f (x) определена и ограничена на отрезке [a, b], a < b. Произведем разбиение Z отрезка [a, b] на «элементарные отрезки» введением точек xi (i = 0, 1, …, n): a = x0 < x1 < … < xn - 1 < xn = b.

       Обозначим через Δ (Z) длину наибольшего элементарного отрезка разбиения Z, т. е. Δ (Z) = (xixi – 1). В каждом элементарном отрезке выберем произвольное число ξi (xi – 1 ≤ ξixi).

       Число

                 

    называется интегральной суммой относительно разбиения Z.

       Функция f (x) является интегрируемой на отрезке [a, b] в смысле Римана, если существует число I со следующим свойством: для любого ε > 0 найдется такое δ (ε) > 0, что при любом разбиении Z, для которого Δ (Z) < δ, выполняется неравенство |σ (Z) – I | < ε независимо от выбора ξi. Число I называется определенным интегралом функции f (x) на отрезке [a, b].

       Обозначение: I = f (x) dx; x называется переменным интегрирования, a и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

       Этому определению равносильно следующее: f (x) интегрируема на отрезке [a, b], если для всякой последовательности Zn разбиений, для которых Δ(Zn) = 0, последовательность σ (Zn) соответствующих интегральных сумм, независимо от выбора внутренних точек ξk, всегда сходится (она сходится в таком случае к одному и тому же предельному значению, которое и есть интеграл).

       Если интегрируемость f (x) уже известна, то достаточно найти предел σ (Zn) для какой-нибудь последовательности разбиений Zn, удовлетворяющей условию Δ(Zn) = 0.

       Верхние и нижние суммы Дарбу. Пусть Mi и mi — соответственно верхняя и нижняя грани изменения f (x) в элементарном интервале (xi – 1, xi) для разбиения Z отрезка [a, b]. Числа

                 S (Z) = Mi (xi – x– 1) и s (Z) = mi (xixi – 1)

    называются соответственно верхней и нижней суммами разбиения Z.

       Критерий интегрируемости Римана. Функция f (x), определенная и ограниченная на [a, b], интегрируема на [a, b] тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует число δ (ε) > 0 такое, что при любом разбиении Z, где Δ(Z) < δ, выполняется неравенство S (Z) – s (Z) < ε.

       Классы функций, для которых интеграл Римана всегда существует:

       а) функции, непрерывные на [a, b];

       б) функции, ограниченные на [a, b] и имеющие конечное число разрывов;

       в) ограниченные и монотонные на [a, b] функции.

       Геометрическая интерпретация определенного интеграла. Если f (x) ≥ 0 на отрезке [a, b], то f (x) dx представляет собой площадь области, ограниченной осью х, графиком f (x) и прямыми x = a и x = b. Если f (x) ≤ 0 на [a, b], то площадь соответствующей фигуры равна –  f (x) dx.



    1.7.2. Свойства определенных интегралов


    1. f (x) dx = 0.
    2. Перестановка пределов интегрирования: если существует f (x) dx при a < b, то существует
    3.               f (x) dx = – f (x) dx.
    4. Если существуют интегралы f (x) dx и f (x) dx, то существует также f (x) dx и для любого взаимного расположения точек a, b, c
    5.               f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx.
    6. Если существует f (x) dx, то для любой постоянной α
    7.               α f (x) dx = α f (x) dx
    8. Если существуют интегралы f (x) dx и g (x) dx, то существует также [f (x) + g (x)] dx и
    9.               [f (x) + g (x)] dx = f (x) dx + g (x) dx

    10. Если всюду на [a, b] выполнено неравенство f (x)  ≤  g (x) и существуют f (x) dx и g (x) dx, то
    11.               f (x) dx  ≤  g (x) dx.

      В частности, если m  ≤  f (x)  ≤  M, то

                   m(ba)  ≤  f (x) dx  ≤  M(ba).

    12. Если существует | f (x)| dx, то существует также f (x) dx и
    13.               | f (x)| dx
    14. Первая теорема о среднем значении. Если f (x) интегрируема на [a, b] и m  ≤  f (x)  ≤  M, то существует число μ, m  ≤  μ  ≤  M, такое, что

                    f (x) dx = μ (ba).

      В частности, если f (x) непрерывна на [a, b], то существует число c, a < c < b, такое, что

                    f (x) dx =  f (c)(ba).

      Геометрическая интерпретация: между a и b существует такое число c, что площадь фигуры ABCD равна площади прямоугольника AB'C'D.



    15. Обобщенная первая теорема о среднем значении. Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a, b], m  ≤  f (x)  ≤  M и либо всегда g (x) ≥ 0, либо всегда g (x) ≤ 0, то существует число μ, m  ≤  μ  ≤  M, такое, что

                    f (x) g (x) dx = μ g (x) dx.

      В частности, если f (x) непрерывна, то существует такое число ξ, a < ξ < b, что

                    f (x) g (x) dx = f (ξ) g (x) dx.

    16. Вторая теорема о среднем значении. Если f (x) монотонна и ограничена, а g (x) интегрируема, то на [a, b] существует точка &xi такая, что

                    f (x) g (x) dx = f (a)g (x) dx + f (b)g (x) dx.

    17. Если функция f (t) непрерывна на отрезке [a, b], то функция

                  F ' (x) = f (t) dt

      на отрезке [a, b] также непрерывна и имеет производную:

                  F ' (x) = f (x).

    18. Интегрирование посредством разложения в ряд. Если функции fn (x) (n = 1, 2, 3, …) интегрируемы на [a, b], а бесконечный ряд fn (x) сходится равномерно на [a, b], то сумма ряда f (x) также интегрируема на [a, b] и

                   f (x) dx = .



    1.7.3. Неопределенные интегралы


       Первообразная функция. Функция F (x), дифференцируемая на некотором интервале (a, b), называется первообразной функцией для функции f (x) на этом интервале, если для каждого x ∈ (a, b) справедливо равенство

                F ' (x) = f (x).

       Если F1 (x) и F2 (x) — две первообразные функции для f (x) на одном и том же отрезке, то они различаются на аддитивную постоянную:

    F2 (x) = F1 (x) + C, т. е. графики всех первообразных функций образуются из одного из них сдвигом по оси y.

       Неопределенным интегралом функции f (x) на некотором интервале называют множество всех первообразных функций функции f (x) на этом интервале; обозначение:

                 f (x) dx.

       Если F (x) — какая-нибудь первообразная для f (x), то

                 f (x) dx = F (x) + C,

    где C — произвольная постоянная.

       Вычисление неопределенных интегралов при помощи соответствующих правил интегрирования стараются всегда свести к табличным интегралам. Зачастую, однако, неопределенный интеграл от некоторой функции невозможно выразить через элементарные функции. Это происходит уже при интегрировании таких простых функций, как

                

       Для того чтобы проинтегрировать подобную функцию, можно произвести разложение подынтегральной функции в ряд и использовать
    свойство 12 из 1.7.2.

       Выражение определенного интеграла через неопределенный. (Основная теорема дифференциального и интегрального исчислений, теорема Ньютона – Лейбница). Если для f (x) на отрезке [a, b] известна первообразная функция F (x), то определенный интеграл f (x) dx можно вычислить по формуле

                 f (x) dx = F (b) – F (a);

    при этом для записи правой части используются символы: [F (x)] или F (x)|.

       Геометрическая интерпретация первообразной функции. Если S (x) — площадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f (x), прямыми, проходящими через (a, 0) и (x, 0) и параллельными оси y, и осью x, то

                S (x) = F (x) – F (a),

    где F (x) — любая первообразная функция для f (x) на отрезке [a, b].



    1.7.4. Свойства неопределенных интегралов


    1. Аддитивность неопределенного интеграла: ( f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx.
    2. Постоянный множитель α можно выносить за знак интеграла: α f (x) dx f (x) dx.
    3. Если F (u) — первообразная функция для f (u) в интервале I, то для произвольных постоянных a, b (a ≠ 0)

                   f (ax + b) dx = F (ax + b) + C,

      причем x лежит в интервале, для которого u = ax + bI.

    4. Если f (x) имеет в некотором интервале непрерывную производную и f (x) ≠ 0, то

                   dx = ln |f (x)| + C.

    5. Интегрирование по частям. Если u (x) и v (x) имеют в некотором интервале I непрерывные производные, то

                   u (x) v' (x) = u (x) v (x) – u (x) v' (x) dx.

    6. Интегрирование подстановкой (заменой переменного). Если функция f (z) непрерывна на [α, β], функция z = g (x) имеет на (a, b) непрерывную производную и α ≤ g (x) ≤ β, то

                   f (g (x)) g ' (x)dx = f (z) dz,

      причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z = g (x).

      Зачастую этой формулой пользуются справа налево; для того чтобы определить f (z) dz, вводят функцию z = g (x) и вычисляют f (g (x)) g ' (x)dx; после этого при помощи обратной функции x = h (z) нужно вернуться к исходному переменному x (обратная функция x = h (z) существует, если  g ' (x) ≠ 0 на [a, b]).

         Правило подстановки (замены переменного) для определенных интегралов (z = g (x); обратная функция x = h (z)).

                   f (g (x)) g ' (x)dx = f (z) dz, f (z) dz,= f (g (x)) g ' (x)dx.

      В отличие от правила подстановки для неопределенных интегралов, согласно которому необходимо вернуться к исходному переменному, здесь при подстановке нужно сразу заменить пределы интегрирования.



    1.7.5. Интегрирование рациональных функций


       Дробно-рациональная функция R (x) — отношение двух многочленов Q (x) и P (x), не имеющих общих множителей:

                

       Если степень Q (x) больше или равна степени P (x), то прежде всего делением Q (x) на P (x) выделяют целую часть. Тогда получают сумму, состоящую из многочлена и правильной рациональной функции R (x) = f (x) + Q1 (x)/P (x), причем степень Q1 меньше степени P (x) и многочлены Q1 и P (x) не имеют общих множителей.

       Если деление выполнено, то производится разложение дробно-рациональной функции Q1 (x)/P (x) на простейшие дроби, т. е. Q1 (x)/P (x) раскладывается на сумму дробей, которые затем можно легко проинтегрировать. Это разложение на простейшие дроби тесно связано с разложением знаменателя P (x) на множители. Делением числителя Q1 (x) и знаменателя P (x) на a0 можно всегда достичь того, чтобы коэффициент при старшем члене многочлена P (x) был равен 1.

                

    где av (v = 1, …, r) — действительные нули кратности kv многочлена P (x). Далее, каждому из сомножителей P (x) соответствует некоторое число простейших дробей, а именно каждому сомножителю вида (xa)k соответствует сумма простых дробей

                

    и каждому сомножителю вида (x2 + px + q)l соответствует сумма простых дробей вида

                

       Постоянные Ai, Bj, Cj рассматриваются сначала как неизвестные.

       Интегрирование простейших (элементарных) дробей. После того, как разложение на простейшие дроби осуществлено, достаточно проинтегрировать полученные дроби. Дроби, знаменатель которых имеет a своим действительным корнем, интегрируются по формулам

                

       Интеграл от дроби при p2 – 4q < 0, т. е. когда знаменатель имеет комплексно сопряженные корни, преобразование числителя при v > 1, B ≠ 0 приводится к виду

                

                

       При v = 1, B ≠ 0 после аналогичного преобразования получим

                

       Вычисление интегралов вида

                

    производится по рекуррентной формуле

                

    которая позволяет свести вычисление интеграла Iv после v – 1 шагов к вычислению интеграла

                

       Значение последнего интеграла равно

                

    1.7.6. Интегрирование других классов функций


       В дальнейшем R (u,v, w, …) означает рациональную функцию от аргументов u,v, w, …

       Приводимые ниже интегралы подходящей подстановкой могут быть сведены к интегралам от рациональных функций.

       1.7.6.1. Интегрирование иррациональных функций

    1. R (x, ) dx; в результате замены переменного t = , т. е. x = (tnx), dx = tn – 1 dt, получаем

                  

      т. е. интеграл от рациональной функции.

    2. R (x, ) dx (adbc ≠ 0); подстановка t = , т. е. x = , dx = n(adbc) , приводит к интегралу от рациональной функции.
    3. R (x, , , …) dx; подстановка t = , причем r — наименьшее общее кратное чисел n, m, …, дает в итоге интеграл от рациональной функции.
    4. Теорема Чебышева. Интеграл xm(x + bxn)p dx (a, b — произвольные постоянные, m, n, p — рациональные числа) — может быть выражен в элементарных функция только тогда, когда одно из чисел p, , + p является целым.

      а) p — целое; подстановка t = , где r — наименьшее общее кратное знаменателей чисел m и n, приводит к интегралу от рациональной функции.

      б) — целое; подстановка t = , где r — знаменатель дроби p, получаем интеграл от рациональной функции.

      в) + p — целое; подстановка t = , где r — знаменатель дроби p, получаем интеграл от рациональной функции.

    5. R (x, ) dx (a ≠ 0).

      Эти интегралы можно свести к интегралам от рациональных функций, от тригонометрических или гиперболических функций. Преобразуем выражение

                  ax2 + 2bx + c = (ax + b)2 +

      и рассмотрим три возможных случая:

      а) acb2 > 0; тогда интересен лишь случай a > 0, так как при a < 0 всегда ax2 + 2bx + c < 0. Заменой переменного t = получаем, что ax2 + 2bx + c = , откуда следует, что

                  R (x, ) dx =

      Дальнейшая подстановка, а именно t = sh u, приводит к интегралу от рациональной функции от функции sh u и ch u:

                  R1 (t, ) dt = R1 (sh u, ch u)ch u du

      б) acb2 = 0; тогда в подынтегральном выражении содержится полный квадрат, и, извлекая квадратный корень, получаем интеграл рациональной функции.

      в) acb2 < 0; подстановкой t = получаем, что = при a > 0 и = при a < 0.

      В результате приходим к интегралу вида R1 (t, ) dt если a > 0 и R1 (t, ) dt если a < 0. В первом случае используют подстановку t = ch u, во втором случае t = cos u; получают соответственно

                  R1 (ch u, sh u)sh u du,  R1 (cos u, sin u)sin u du.

      Одной из трех подстановок Эйлера интегралы рассматриваемого вида можно свести к интегралам от рациональных функций:

      а) если a > 0, то делают замену

                   =

      б) если a > 0, то делают замену

                   =

      в) если ax2 + 2bx + c имеет два различных действительных корня α и β, то делают замену = t (xa).

    6. Интегралы специального вида , где Pn (x) — многочлен n-й степени, можно свести к более простому интегралу  .

      Полагают

                   = Pn – 1 (x) + A,   ( ∗ )

      где Pn – 1 (x) — многочлен степени n – 1, коэффициенты которого еще не определены. Для нахождения коэффициентов этого многочлена и числа A дифференцируют левую и правую части равенства ( ∗ ), полученный результат умножают на , а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x y многочленов слева и справа.



       1.7.6.2. Интегрирование трансцендентных функций

    1. R (sin x, cos x) dx. Делаем замену переменного, полагая t = tg (– π < x < π), и следовательно, x = 2 arctg t, dx = dt. Тогда

                  cos x = 2cos2 – 1 = – 1 =

                  sin x = 2 sin cos = 2 tg cos2 = ,

      откуда

                  R (sin x, cos x) dx = R , dx

      т. е. в итоге получаем интеграл от рациональной функции.

      В частных случаях можно применять и более простые подстановки: если функция R (sin x, cos x) нечетна относительно sin x, т. е.
      R (– sin x, cos x) = – R (sin x, cos x), то подстановка t = cos x приводит к интегралу от рациональной функции; если функция R (sin x, cos x) нечетна относительно cos x, т. е. R (sin x, – cos x) = – R (sin x, cos x), то подстановка t = sin x приводит к интегралу от рациональной функции; если, наконец, R (– sin x, – cos x) = – R (sin x, cos x), то подстановкой t = tg x получают интеграл от рациональной функции.

    2. R (emx, enx, …,e px) dx (m, n, …, p — рациональные числа). В результате подстановки t = ex получают интегралы вида R (tm, tn, …,t p ) dt. Если r — наименьшее общее кратное знаменателей дробей m, n, …, p, то подстановкой u = получают интеграл от рациональной функции.
    3. R (sh x, ch x) dx. Эти интегралы можно вычислить, заменив гиперболические функции на показательные.

      Случаи shnx dx, chnx dx, shnx chmx dx рассматриваются аналогично соответствующим интегралам от тригонометрических функций.

      Интегралы вида

    4. P(x) eαx dx,
    5. P(x) sin(α x + β) dx,
    6. P(x) cos(α x + β) dx,
    7. P(x) eαx sin(α x + β) dx,
    8. P(x) eαx cos(α x + β) dx,
    9. где P(x) — многочлен от x, можно вычислить, применив один или более раз формулу интегрирования по частям.

      Интегралы вида
    10. ln x R '(x) dx,
    11. arctg x R '(x) dx,
    12. arcsin x R '(x) dx,
    13. где R '(x) — производная некоторой рациональной функции R (x), можно интегрированием по частям свести к уже рассмотренным случаям:

                  ln x R '(x) dx = ln x R (x) – dx,

                  arctg x R '(x) dx = arctg x R (x) – R (x) dx,

                  arcsin x R '(x) dx = arcsin x R (x) – R (x) dx.



       1.7.6.3. Несобственные интегралы

       При введении определенного интеграла предполагалось, что функция f (x) ограничена, а интервал интегрирования конечен. Несобственные интегралы являются обобщением определенных интегралов на случай неограниченной функции и бесконечных интервалов интегрирования.

       Интегралы с бесконечными подынтегральными функциями. Пусть функция f (x) ограничена и интегрируема на каждом отрезке axb – ε, где
    0 < ε < ba, но f (x) = ∞.

       Если существует предел

                I = f (x) dx,      ( ∗ )

    то он называется сходящимся несобственным интегралом от f (x) на [a, b] и его I, как и ранее, обозначается f (x) dx, т. е.

                 f (x) dx = f (x) dx.

       Если же предел ( ∗ ) не существует, то f (x) dx называется расходящимся несобственным интегралом.

       Если же f (x) ограничена и интегрируема при axb, то несобственный интеграл сходится и совпадает с определенным интегралом в прежнем смысле.

       Аналогично определяется несобственный интеграл для функций, которые на каждом отрезке a + ε ≤ xb, где 0 < ε < ba, ограничены и интегрируемы, но f (x) = ∞:

                f (x) dx = f (x) dx.

       Пусть f (x) не ограничена в окрестности обоих концов отрезка [a, b]. И пусть c — любая внутренняя точка отрезка [a, b]: a < c < b.

       Если каждый из интегралов f (x) dx и f (x) dx сходится, то по определению

                 f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx.

       Если f (x) не ограничена в окрестности некоторой внутренней точки с отрезка [a, b] и каждый из интегралов f (x) dx и f (x) dx сходится, то по определению полагают

                 f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx,

    или, подробнее,

                 f (x) dx =

    Оба предела нужно вычислять по отдельности.

       Если в этом смысле несобственный интеграл расходится, но существует предел

                

    то его называют главным значением несобственного интеграла в смысле Коши. Он обозначается тем же символом f (x) dx, что и сам интеграл, либо v. p.  f (x) dx.

       Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция f (x) определена при xa и интегрируема на каждом отрезке axb. Если существует предел

                I = f (x) dx,

    то он называется сходящимся несобственным интегралом от f (x) на интервале [a, + ∞) и обозначается через f (x) dx; таким образом,

                f (x) dx = f (x) dx.

       Если предела не существует, то интеграл f (x) dx называется расходящимся несобственным интегралом.

       Аналогично определяется f (x) dx = f (x) dx.

       Если оба интеграла f (x) dx и f (x) dx сходятся, то по определению полагают

                f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx.

       Главное значение. Если несобственные интегралы f (x) dx и f (x) dx расходятся, а предел f (x) dx существует, то он называется главным значением несобственного интеграла. Его обозначают v. p. f (x) dx.

       Пусть функция f (x) на интервале [a, + ∞) обладает конечным числом точек, в окрестности которых она не ограничена. Тогда интервал [a, + ∞) разбивают на соответствующие частичные интервалы и на каждом из этих частичных интервалов вычисляют несобственные интегралы. Если они сходятся, то интеграл на [a, + ∞) определяется как сумма интегралов на этих частичных интервалах.

    Критерии сходимости. Они формулируются для интегралов вида f (x) dx; для других типов справедливы аналогичные утверждения.

    1. Если функции f (x) и g (x) неотрицательны и для xx0a справедливо неравенство

                  f (x) ≤ g (x),

      то из сходимости g (x) dx следует сходимость f (x) dx, а из расходимости f (x) dx — расходимость g (x) dx.

    2. Если функции f (x) и g (x) неотрицательны и существует

                   = K (0 ≤ K ≤ + ∞),

      то для K < + ∞ из сходимости g (x) dx следует сходимость f (x) dx, а при K > 0 из расходимости g (x) dx следует расходимость f (x) dx, т. е. при 0 < K < ∞ оба интеграла или сходятся, или оба расходятся.

       В случае интеграла f (x) dx от неограниченной в окрестности x = b функции нужно рассмотреть предел .

       В качестве функций сравнения в случае f (x) dx особенно удобно использовать функции g (x) = , а в случае интеграла f (x) dx от неограниченной в окрестности x = b функции –   g (x) = .

       Абсолютная сходимость несобственного интеграла. Интеграл f (x) dx называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл | f (x)| dx (аналогичные определения имеют место для других видов несобственных интегралов). Если f (x) dx сходится абсолютно, он также и сходится.

       Связь между несобственными интегралами и бесконечными рядами. Интеграл f (x) dx тогда и только тогда является сходящимся, когда для каждой числовой последовательности {xn} (x0 = x, xnx) такой, что = + ∞, ряд f (x) dx имеет всегда одну и ту же сумму. Эта сумма и является значением несобственного интеграла.

       Многочисленные критерии сходимости для бесконечных рядов могут, таким образом, использоваться для исследования сходимости несобственных интегралов, и, наоборот, интегральный критерий сводит исследование сходимости рядов к определению сходимости несобственных интегралов.

       Геометрический смысл несобственных интегралов. Если функция f (x) на отрезке axb непрерывна, f (x) > 0, f (x) = ∞, и несобственный интеграл f (x) dx сходится, то он равен площади заштрихованной на рисунке области.

       Если f (x) непрерывна при х ≥ 0, f (x) ≥ 0 и несобственный интеграл f (x) dx сходится, то его величина имеет значение, равное площади заштрихованной на рисунке неограниченной области.

       Действия с несобственными интегралами. Свойства определенных интегралов для несобственных интегралов справедливы не безоговорочно. Они переносятся на интегралы вида f (x) dx и другие несобственные интегралы следующим образом:

    1. Если сходятся f (x) dx и g (x) dx, то сходятся также A f (x) dx для любой постоянной A и ( f (x) + g (x)) dx и справедливы формулы

                  A f (x) dx = A f (x) dx,  ( f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx.

    2. Если F (x) — первообразная для f (x) в интервале [a, + ∞) и существует F (x), то

                  f (x) dx = F (x) |,

      где F (x) | = F (x) – F (a). В случае несобственного интеграла от неограниченной функции f (x) справедлива формула

                  f (x) dx = F (x) |,

      если первообразная функция F (x) непрерывна в точках, в окрестности которых функция f (x) неограниченна.

    3. Интегрирование по частям. Если функции u (x) и v (x) имеют на интервале [a, + ∞) непрерывные производные, существует u (x) v (x) и
      u ' (x) v (x) dx сходится, то u (x) v ' (x) dx также сходится и справедлива формула

                  u (x) v ' (x) dx = u (x) v (x)|u ' (x) v (x) dx.

    4. Правило подстановки. Если функция f (z) при z ≥ α непрерывна, функция z = g (x) на [a, b) имеет непрерывную производную g ' (x) ≠ 0 и g (a) = α, g (x) = + ∞, то

                  f (z) dz = f ( g (x)) · g ' (x) dx;

      при этом интеграл, стоящий справа, может быть как собственным, так и несобственным, и из сходимости одного из интегралов следует сходимость другого.



    1.7.7. Геометрические приложения определенных интегралов


       Длина кривой. Если плоская кривая L задана параметрически: x = φ (t), y = ψ (t) (t0tt1), причем φ (t) и ψ (t) — непрерывно дифференцируемые функции, то она имеет длину l, вычисляемую по следующей формуле:

                l = .

       Если L — график непрерывно дифференцируемой функции y = f (x) (x0xx1), то ее длина вычисляется по формуле

                l = .

       Если кривая L задана в полярных координатах ρ = g (φ) (φ0φφ1), то ее длина может быть вычислена по формуле:

                l = .

       Площадь. Если f (x) является неотрицательной, непрерывной на отрезке axb функцией, то площадь S криволинейной трапеции ABCD вычисляется по формуле

                S = f (x) dx.



       Площадь S сектора OAB, ограниченного кривой AB, заданной в полярных координатах ρ = g (φ) (φ0φφ1), и радиусом OA и OB, определяется интегралом

                S = ρ2 = [ g (φ)]2 .



       Объем тела вращения. Пусть функция f (x) неотрицательна и непрерывна на отрезке отрезке axb; объем V тела, получающегося в результате вращения криволинейной трапеции aABb вокруг оси x, определятся формулой

                V = π [ f (x)]2 dx.



       Объем V тела, заключенного между двумя плоскостями x = a и x = b, в случае, если площадь сечения, проведенного перпендикулярно оси x, есть известная формула S = f (x) (axb) вычисляется по формуле

                V = f (x) dx.



       Площадь поверхности тела вращения. Площадь S поверхности тела вращения, возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке axb неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией f (x), вычисляется по формуле

                

    Если вращающаяся кривая задана параметрически: x = φ (t), y = ψ (t) (t0tt1), то

                

    Содержание

    1.8. Криволинейные интегралы.

       Криволинейный интеграл является обобщением определенного интеграла, при котором функция интегрировалась вдоль отрезка [a, b] действительной оси; в случае криволинейного интеграла функция интегрируется вдоль кривой.

       Отрезок плоской кривой, заданной параметрически: x = φ (t), y = ψ (t) (t1tt2), называется гладким, если производные функций φ (t) и ψ (t) непрерывны и всегда φ' 2 (t) + ψ' 2 (t) > 0. Точка со значением параметра t1 называется начальной точкой, а точка со значением параметра t2конечной точкой отрезка кривой. Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких отрезков кривой.

       Аналогичное определение имеет место для пространственных кривых, заданных параметрически: x = φ (t), y = ψ (t), z = χ (t) (t1tt2).


    1.8.1. Криволинейные интегралы 1-го рода (интегралы по длине кривой)


       Пусть L — отрезок кусочно-гладкой кривой с началом в точке A и концом в точке B и u = f (x, y) — ограниченная функция, заданная в некоторой области, содержащей кривую L. На L выбираются произвольные точки A = A0, A1, …, An – 1, An = B; тем самым криволинейный отрезок AB разбивается на элементарные отрезки (разбиение Z). Пусть длина отрезка кривой между An – 1 и Ai (i = 1, …, n) равна Δsi. Пусть Mii, ηi) — произвольная точка на элементарном отрезке Ai – 1 Ai. Сумма

                S ( Z ) = fi, ηi) Δsi

    называется интегральной суммой относительно разбиения Z.



       Обозначим через Δ( Z ) максимальное из чисел Δsi:

                Δ( Z ) = Δsi.

       Как и при определении определенного интеграла, число I называется криволинейным интегралом 1-го рода, если оно обладает следующим свойством: для любого ε > 0 существует число δ (ε) > 0 такое, что для любого разбиения, удовлетворяющего условию Δ( Z ) < δ, и независимо от выбора точек Mi выполняется неравенство | S ( Z ) – I | < ε.

       Обозначения: I = f (x, y) ds,  I = f (x, y) ds.

       Аналогично определяется криволинейный интеграл f (x, y, z) ds 1-го рода от функции u = f (x, y, z) трех переменных по отрезку L пространственной кривой.

       Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой L, т. е. если L проходится в противоположном направлении, так что B — начало, а A — конец, то

                 f (x, y) ds = f (x, y) ds.

    1.8.2. Существование и вычисление криволинейных интегралов 1-го рода


       Если отрезок кривой L представлен параметрически: x = x (s), y = y (s), 0 ≤ sl, причем s обозначает длину дуги кривой L, то криволинейный интеграл сводится к определенному интегралу:

                 f (x, y) ds = f (x (s), y (s)) ds.

    и, таким образом, из существования одного интеграла следует существование другого; из этой формулы введением новых переменных интегрирования можно получить и другие представления:

    1. Если L — отрезок кусочно-гладкой кривой, заданной параметрически: x = φ (t), y = ψ (t) (t1tt2), то

                   f (x, y) ds = .     ( ∗ )

      Формально при вычислении криволинейного интеграла нужно, таким образом, представить функцию параметрически и, по правилу подстановки для определенных интегралов, заменить переменное s на t. Тогда в силу формулы непосредственно получаем формулу ( ∗ ).

    2. Если плоская кривая задана в явном виде: y = y (x) (axb), то

                   f (x, y) ds = f (x, y (x)) dx.


    1.8.3. Криволинейные интегралы 2-го рода (интегралы по проекции и интегралы общего вида)


       Пусть L — отрезок гладкой кривой с началом в точке A и концом в точке B, u = f (x, y) — функция, заданная в области, содержащей L, и ограниченная на L. Выберем на L произвольные точки A = A0, A1, …, An – 1, An = B. При этом получается разбиение Z кривой A = A0, A1, …, An – 1, An = B на элементарные отрезки.

       Пусть Mi — произвольная точка на элементарном отрезке Ai – 1, Ai (i = 1, …, n), и пусть Ai = (xiyi ), Mi = (ξi, ηi).



       Тогда сумма

                S ( Z ) = f = (ξi, ηi) Δxi ,  Δxi = xi – 1 – xi,

    называется интегральной суммой, соответствующей разбиению Z. (В отличие от интегральной суммы при криволинейном интеграле 1-го рода, здесь
    f = (ξi, ηi) умножается не на длину Δsi элементарного отрезка, а на величину Δxi его проекции на ось x.) Обозначим через Δ( Z ) наибольшее и расстояний от Ai – 1 до Ai (i = 1, …, n).

       Число I называется криволинейным интегралом 2-го рода, если для любого ε > 0 существует число δ(ε) > 0 такое, что для каждого разбиения Z, удовлетворяющего условию Δ( Z ) < δ, и независимо от выбора точек Mi выполняется неравенство | S ( Z ) – I | < ε.

       Обозначения: I = f (x, y) dx,   I = f (x, y) dx.

       Криволинейный интеграл по кусочно-гладкой кривой определяется как сумма интегралов по гладким отрезкам кривой, из которых составляется данная кривая. Если начальная и конечная точки совпадают, то получается криволинейный интеграл по замкнутой кривой, который обозначается следующим образом:

                 f (x, y) dx.

       Аналогично можно определить на плоской кривой число

                 f (x, y) dy,

    а на пространственной кривой — числа

                 f (x, y, z) dx, f (x, y, z) dy, f (x, y, z) dz.

       Если на одной плоскости кривой определены две функции P (x, y) и Q (x, y), то под

                 P (x, y) dx  +  Q (x, y) dy

    понимают сумму обоих интегралов P (x, y) dx и Q (x, y) dy, т. е.

                 P (x, y) dx  +  Q (x, y) dy = P (x, y) dx  +  Q (x, y) dy.

    1.8.4. Свойства и вычисление криволинейных интегралов 2-го рода


       Обычный определенный интеграл есть частный случай криволинейного интеграла, когда в качестве кривой L выбирают отрезок оси x. Оба интервала имеют аналогичные свойства:

                 α f (x, y) dx  =  α f (x, y) dx (α = const),

                ( f (x, y) + g (x, y)) dx = f (x, y) dx  +  g (x, y) dx.

       Если кривая L состоит из двух кривых L1 и L2, то f (x, y) dx = f (x, y) dx  +  f (x, y) dx.

       Если направление интегрирования по L меняют, применяя B за начальную точку, а A — за конечную, то

                 f (x, y) dx = – f (x, y) dx

       Аналогичные формулы верны для криволинейного интеграла по пространственной кривой.

       Криволинейный интеграл зависит от начальной и конечной точек и, в общем случае, также от пути L, соединяющего обе точки. Он не зависит от пути тогда и только тогда, когда обращается в нуль на каждой замкнутой кривой.

       Вычисление. Если L — гладкий отрезок кривой, заданной параметрически: x = φ (t), y = ψ (t) (t1tt2), и функция f (x, y) непрерывна на L, то существуют криволинейные интегралы f (x, y) dx и f (x, y) dy и справедлив следующий переход к определенным интегралам:

                 f (x, y) dx = f (φ (t), ψ (t)) φ' (t) dt.

                 f (x, y) dy = f (φ (t), ψ (t)) ψ' (t) dt.

       Если кривая L задана уравнением y = y (x) (axb) и наряду с непрерывностью f (x, y), непрерывна и y (x), то

                 f (x, y) dx = f (x, y (x)) dx.

       Связь криволинейных интегралов первого и второго рода. Если L — гладкая кривая на плоскости, касательная к которой имеет с координатными осями углы α, β, то

                 P (x, y) dx + Q (x, y) dy = (P cos α + Q cos β) ds.

       Если в случае плоской кривой ввести угол () между нормалью и осью x, то, учитывая что () = α ± π/2, получим

                 P dx + Q dy = [P sin Q cos ] ds.

    1.8.5. Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования


       Значение криволинейного интеграла, взятого вдоль пути L, соединяющего данную начальную точку A с конечно точкой Bвообще говоря, зависит от пути L.

       Условия независимости криволинейного интеграла от пути.

       Двумерный случай. Если функции P (x, y) и Q (x, y) вместе со своими частными производными и непрерывны в односвязной области G, то криволинейный интеграл P dx + Q dy не зависит от выбора кривой L, целиком лежащей в G и соединяющей A и B, если в G существует однозначная функция U (x, y), производные которой удовлетворяют условию

                 = P, = Q,

    т. е. если P dx + Q dy является полным дифференциалом функции U. Криволинейный интеграл может быть вычислен тогда по формуле:

                 P dx + Q dy = U (B) – U (A).

       Необходимым и достаточным признаком существования функции U (x, y) является выполнение условия интегрируемости

                 =

    для всех точек односвязной области G.

       Вычисление функции U (x, y). Если (x0, y0) — фиксированная точка, (x, y) — переменная точка односвязной области G и если выполнено условие интегрируемости, то криволинейный интеграл P dx + Q dy, взятый по произвольной кривой L, соединяющей эти точки и лежащей в области G, является искомой функцией U (x, y). В случае, когда кривая, соединяющая точки (x0, y0) и (x, y) в G, состоит из двух отрезков, параллельных координатным осям, имеем

                U (x, y) = P (ξ, y0) dξ + Q (x, η) + C,

    или

                U (x, y) = Q (x0, η) + P (ξ, y) dξ + C.





    Содержание

    1.9. Двойные интегралы.

    1.9.1. Определение двойного интеграла и элементарные свойства


       Пусть S — ограниченная область плоскости x, y с кусочно-гладкой границей; пусть функция f (x, y) определена и ограничена на S. Посредством сетки кусочно-гладких кривых область S разбивают на конечное число элементарных областей Si (i = 1, 2, …, n) с площадями ΔSi (разбиение Z); пусть Δ ( Z ) — наибольший из диаметров элементарных областей S, получающихся на разбиении Z. В каждой из элементарных областей выбирается произвольная точка Mi = (xi, yi). Число

                σ ( Z ) = f (xi, yi) ΔSi

    ставится в соответствие каждому разбиению Z и называется интегральной суммой разбиения Z.



       Функция f (x, y) называется интегрируемой по области S в смысле Римана, если существует число I со следующим свойством: для каждого ε > 0 найдется δ (ε) > 0 такое, что для каждого разбиения Z области S, для которого Δ ( Z ) < ε, и независимо от того, какие точки Mi выбираются в элементарных областях, выполняется неравенство

                | σ ( Z ) – I|   Число I называется двойным интегралом Римана от f (x, y) по области S и обозначается следующим образом: I = f (x, y) dS, I = f (x, y) dx dy.

       Эквивалентным этому определению является следующее: f (x, y) интегрируема по x, если для каждой последовательности Zn разбиений с Δ ( Zn ) = 0 последовательность соответствующих интегральных сумм σ ( Zn ) всегда сходится независимо от выбора промежуточных точек (в этом случае последовательность сходится всегда к одному и тому же значению, которое и есть двойной интеграл).

       Интегрируемые функции.

    а) Каждая непрерывная на S функция является интегрируемой по S.

    б) Каждая ограниченная на S функция, которая непрерывна на S, за исключением точек, лежащих на конечном числе гладких кривых, интегрируема по S; значения функции на таких гладких кривых можно произвольно изменять (если только измененная функция остается ограниченной), не меняя значения интеграла.

       Свойства двойных интегралов. Если функции интегрируемы по области, то имеют место следующие свойства.

    1. Аддитивность относительно подынтегральных выражений:

                   [f (x, y) + g (x, y)] dx dy =  f (x, y) dx dy +  g (x, y) dx dy.

    2. Аддитивность относительно областей: если S1, S2 — две области без общих внутренних точек, то

                   f (x, y) dx dy =  f (x, y) dx dy +  f (x, y) dx dy.

    3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

                   A f (x, y) dx dy  = A f (x, y) dx dy

    4. Если для каждой точки (x, y) ∈ S выполняется неравенство f (x, y) ≤ g (x, y), то

                   f (x, y) dx dy ≤  g (x, y) dx dy

    5. Если f (x, y) интегрируема по S, то функция | f (x, y)| также интегрируема по S и

                   f (x, y) dx dy  ≤  | f (x, y)| dx dy.

    6. Если m является нижней, а M — верхней границей для f (x, y) на S, а ΔS — площадь области S, то

                  m ΔS ≤  f (x, y) dx dy ≤ M ΔS.

    7. Теорема о среднем значении. Если f (x, y) непрерывна в связной области S, то существует по меньшей мере одна точка (ξ, η) ∈ S такая, что

                   f (x, y) dx dy = f (ξ, η) ΔS.

    8. Если Sn — последовательность областей с площадями ΔSn и диаметрами ρn и если каждая область содержит точку M и ρn = 0 (в этом случае говорят, что последовательность Sn стягивается в точку M), то для непрерывной функции f (x, y) существует

                   f (x, y) dx dy =  f (M).

      (дифференцирование по области)


    1.9.2. Вычисление двойных интегралов


    а) Если S = {(x, y) | axb,  y1 (x)  ≤  y  ≤  y2 (x)}, то

                 f (x, y) dx dy = dx.

    т. е. двойной интеграл может быть вычислен в результате двух последовательно проведенных простых интегрирований. Скобки можно опустить, если условиться, что второму знаку интеграла соответствует первое переменное интегрирования.



    б) Аналогичная формула имеет место для S = {(x, y) |  x1 ( y )  ≤  x  ≤  x2 ( y ), cyd, }

                 f (x, y) dx dy = dy.



    в) Если область S можно разбить на конечное число областей, заданных как в случаях (а) или (б), то для вычисления интеграла по S используется второе свойство из 1.9.1.



    1.9.3. Замена переменных в двойных интегралах


       Пусть функции x = x (u, v) и y = y (u, v) взаимно однозначно отображают область G плоскости uv с кусочно-гладкой границей на область S плоскости xy, и пусть функции x (u, v), y (u, v) и их первые частные производные непрерывны на G, а внутри G якобиан отличен от нуля:

                J = = ≠ 0. Если функция f (x, y) непрерывна на S, то справедлива следующая формула:

                 f (x, y) dx dy = f (x (u, v), y (u, v)) |J| du dv. Выражение |J| du dv называется элементом площади в криволинейных координатах u, v. Формула преобразования остается верной и тогда, когда сделанные предположения нарушены вдоль кусочно-гладких кривых, при условии, что функция f (x, y) и якобиан остаются там ограниченными.

    1.9.4. Истолкование двойного интеграла как объема


       Если f (x, y) ≥ 0 на S, то двойной интеграл

                 f (x, y) dxdy

    интерпретируется как объем цилиндрического тела, основанием которого служит область S плоскости x, y и которое сверху ограничено поверхностью z = f (x, y). Если, в частности, f (x, y) = 1, то получают объем цилиндра с плоскостью z = 1 в качестве верхнего основания. Объем этого цилиндра численно равен площади ΔS области S:

                ΔS = dxdy.





    Содержание

    1.10. Тройные интегралы.

    1.10.1. Определение тройного интеграла и простейшие свойства


       Пусть задана ограниченная пространственная область V, граница которой является кусочно-гладкой поверхностью. Пусть функция f (x, y, z) определена и ограничена в области V. Посредством выбора сети кусочно-гладких поверхностей строится некоторое разбиение Z области V на конечное число элементарных областей Vi (i = 1, 2, …, n) с площадями Δ Vi.

       Пусть Δ (Z) — наибольший диаметр элементарных областей Vi, Mi (xi, yi, zi) — произвольная точка в каждой элементарной области Vi. Число σ (Z) = f (xi, yi, zi) Δ Vi называется интегральной суммой, соответствующей разбиению Z.

       Функция f (x, y, z) называется интегрируемой по области V, если существует число I со следующим свойством: для каждого ε > 0 существует число δ (ε) > 0 такое, что для каждого разбиения Z, удовлетворяющего условию Δ (Z) < δ, и независимо от выбора точек Mi выполняется неравенство | σ (Z) – I | < ε. Число I называется тройным интегралом функции f (x, y, z) по области V и обозначается следующим образом:

                I = f (x, y, z) dV,  I = f (x, y, z) dx dy dz.

       Этому определению эквивалентно следующее: функция f (x, y, z) интегрируема по V, если для каждой последовательности Zn разбиений области V, для которой Δ (Zn)= 0, последовательность σ (Zn) интегральных сумм всегда сходится независимо от выбора точек Mi , в этом случае последовательности сходятся всегда к одному и тому же числу, которое и есть значение интеграла.

       Интегрируемые функции.(Zn)

       а) Каждая непрерывная на V функция является интегрируемой по V.

       б) Каждая ограниченная на V функция, которая непрерывна на V, за исключением точек, лежащих на конечном числе гладких поверхностей, является интегрируемой по V. Если функция в точках таких поверхностей произвольно изменяется (однако так, что измененная функция остается ограниченной), то значение интеграла не изменится.

       Тройные интегралы имеют свойства, соответствующие свойствам рассмотренным для двойных интегралов.

    1.10.2. Вычисление тройных интегралов


       1. Пусть V является цилиндрическим телом, проекция которого на плоскость x, y есть область S и которое ограничено снизу поверхностью
    z = z1 (x, y), а сверху — поверхностью z = z2 (x, y); тогда

                 f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dz dx dy.

    Интегрированием по z тройной интеграл сводится к двойному интегралу по области S.

       Если область S плоскости x, y определена неравенствами axb,  y1 (x) ≤ yy2 (x), то

                 f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dx dy dz.



       2. Пусть V лежит между плоскостями x = a и x = b, а каждая плоскость x = const, где axb, пересекает область V по плоской области Sx; тогда

                 f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dy dz dx.